Supongamos que $B(t)$ es un movimiento browniano estándar, y $B_{1}(t)$ viene dada por $dB_{1}(t)=\mu dt+dB(t)$ . Supongamos que $P$ es la medida de Wiener inducida por $B(t)$ en el $C[0,\infty)$ y $P_{1}$ es la Ley inducida por $B_{1}(t)$ en $C[0,\infty)$ . Aquí seguimos las definiciones de la ley se refiere a
Según el teorema de Girsanov ( por ejemplo, P155. Thereom 8.6.3 en Fifth Edtion, Stochastic Differential Equations: An introduction with Application), existe una Ley $Q$ tal que $B_{1}(t)$ es un movimiento browniano estándar bajo $Q$ .
Es $Q$ igual a $P_{1}$ ?
Yo pensaba que no eran iguales entre sí. La razón es que para el tiempo fijo $t$ la expectativa de $B_{1}(t)$ en $Q$ es 0, y bajo $P_{1}$ su expectativa debe ser $\mu t$ . Si mi derivación es incorrecta, por favor señale dónde está mi error.
Si estoy en lo cierto, una nueva pregunta es cómo calcular $\frac{d P_{1}}{dP}$ ?
Recordemos que $\frac{d Q}{dP}$ está dada por el teorema de Girsanov. Cualquier referencia es muy apreciada.
