Es la Duración realmente la pendiente de los Precios de la curva de Rendimiento?

Question

Cuando se mira en el Precio vs Rendimiento gráfico para una tasa fija del instrumento, a menudo se nos dice que la duración es la pendiente de la curva. Pero es eso realmente cierto?

Duración (cambio en el precio) dividido por (precio de los tiempos de cambio en el rendimiento). Eso no es la pendiente de la curva que sería (cambio en el precio) dividido por (cambio en el rendimiento). El rendimiento se expresa en términos de porcentaje que hace que se vea relativa, pero que va del 1% al 2% es un aumento relativo del 100%, porque es un aumento del 1% sólo en términos absolutos.

Que factor añadido de precio no es constante y por lo que la pendiente y la duración difieren en proporciones diferentes a precios diferentes!?

Answer 1

La duración de Macaulay es una medida de cuán sensible es un bono, el precio es a los cambios en las tasas de interés. La duración es relativa, pero difiere de la pendiente de la parcela de bonos de precios en contra de rendimiento al vencimiento. La pendiente de los precios de la curva de rendimientos es $-\frac{D}{1+r}P,$ donde $D$ es la duración de Macaulay, $P$ es del precio del bono, y $r$ es el rendimiento.

He aquí cómo la definición de la duración de la que surge. Vamos a ampliar el precio de un bono, $P$, en términos de la rentabilidad a vencimiento, $r$, el uso del teorema de Taylor: $$\Delta P=P(r+\Delta r)-P(r)\approx\frac{\partial P(r)}{\partial r}\Delta r+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(r)}{\partial r^2}(\Delta r)^2.$$ Desde $$P(r)=\sum_{t=1}^{T}\frac{C_t}{(1+r)^t},$$ donde $C_t$ son los flujos de efectivo, tenemos que $$\Delta P\aprox -\frac{\Delta r}{1+r}\sum_{t=1}^{T}\frac{t\ C_t}{(1+r)^t}+\frac{(\Delta r)^2}{2(1+r)^2}\sum_{t=1}^{T}\frac{t(t+1)C_t}{(1+r)^t},$$ y dividiendo ambos lados por $P$, llegamos a la expresión $$\frac{\Delta P}{P}\approx -\frac{D}{1+r}\Delta r+\frac{\mathcal C}{2}(\Delta r)^2.$$ Aquí $$D=\frac{1}{P} \sum_{t=1}^{T}\frac{t\ C_t}{(1+r)^t}$$ es la duración de Macaulay, y $$\mathcal C= \frac{1}{P(1+r)^2}\sum_{t=1}^{T}\frac{t(t+1)C_t}{(1+r)^t}$$ es una medida de la curvatura, o convexidad, en la trama de enlace de precios en contra de rendimiento al vencimiento.

Answer 2

Estás en lo correcto: ninguna de las duraciones son la pendiente de la tangente a) el precio/rendimiento de la curva. En lugar de la pendiente es el "dólar duración" = duración modificada * Precio *-1. Esto tiende a traicionar a un número bastante grande, por ejemplo, en el procesamiento continuo de la modificación/Macaulay duración de un 100 par cupón cero a 10 años de los bonos es de 10.0 años. La pendiente (de la tangente) en rendimiento = 5% = -P(D) = 100[exp(-5%*10)]10 = -606. Como una aproximación lineal, el cambio de precio es de 606 1 unidad de cambio en el eje de las x, donde 1.0 unidad = 100% cambio (10,000 puntos base).

De esta manera, por lo que vale, la pendiente es el dólar duración es también DV01 (aka, PVBP) * 10.000 Mod duración * Precio / 10,000 = DV01