Puede el modelo de Heston ser demostrado reducir a la original de Black Scholes modelo si los parámetros adecuados son los elegidos?

Question

Resumen

Para Heston modelo de parámetros que hacen que la varianza proceso constante, la solución debería volver a la llanura de Black-Scholes. Cerrado a partir de soluciones para el modelo de Heston no parecen hacer esto, aunque la dinámica claramente. Cualquiera puede ver cómo resolver esto? Me importa porque estoy obteniendo resultados incorrectos para cuatro implementaciones independientes que abarcan tres métodos completamente diferentes de abordar el problema, pero no obtener resultados incorrectos para Monte Carlo precios basados en el tiempo de evolución de la SDEs.

Detalles

Estoy implementando la opción pricers basado en el modelo de Heston y el uso de diferentes métodos:

• La simulación de Monte Carlo
• El original de la forma cerrada de la solución presentada en Heston 1993
• La función de Green, como se presenta en esta muy bonito MSc tesis
• Los métodos de Fourier

Por desgracia, lo que me estoy encontrando es que mientras que el último de los tres (semi-)las soluciones analíticas de acuerdo el uno con el otro, que no está de acuerdo con la simulación de Monte Carlo y mi intuición sobre el problema.

Dada la Heston dinámica: $$ dS_t = \mu S_t,dt + \sqrt{\nu_t} S_tdW^S_t,\\ d\nu_t = \kappa(\theta \nu_t)dt + \sigma \sqrt{\nu_t}dW^{\nu}_t,\\ dW^S_t dW^{\nu}_t = \rho dt\\ $$ está claro que si sólo tenemos que elegir a nuestros parámetros para el proceso de dispensa $\nu_t$ que permanece constante ($d\nu_t = 0, \nu_t = \nu_0$), debemos volver a la llanura de Black-Scholes de la dinámica de $$ dS_t = \mu S_tdt + \sqrt{\nu_0} S_tdW^S_t . $$ A partir de esto podemos derivar la solución analítica de la forma habitual y con el siguiente $$ C(S,t) = \mathcal{N}(d_1)~S-\mathcal{N}(d_2)~K e^{-i \tau} \\ d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K})+(r+\frac{\nu_0}{2})(\tau)}{\sqrt{\nu_0}\sqrt{\tau}} \\ d_2 = \frac{\ln(\frac{S}{K})+(r-\frac{\nu_0}{2})(\tau)}{\sqrt{\nu_0}\sqrt{\tau}} = d_{1}-\sqrt{\nu_0}\sqrt{\tau}. $$ Esto es todo bien y bueno y es la razón por la que me siento cómodo en la reivindicación de que mis tres diferentes implementaciones de la semi-analítica Heston solución debe estar equivocado, a pesar de su acuerdo el uno con el otro. Además, la simulación de Monte Carlo de la modelo no da el mismo precio como el Black-Scholes de la ecuación en este caso.

Análoga a la del modelo Black-Scholes, la solución de Heston modelo como se indica en el documento original es de la forma $$ C(S,v,t) = S P_1 - K e^{-r(\tau)} P_2, $$ donde $$ P_j = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \int^\infty_0 Re [ \frac{e^{-i \phi ln(K)} f_j(x,\nu,T,\phi)}{i \phi} ] d \phi \\ f_j = e^{C + D \nu + i \phi x}, \\ C = r \phi i \tau + \frac{\kappa \theta}{\sigma^2} {(b_j - \rho \sigma \phi i + d)\tau - 2 \log [\frac{1-ge^{d \tau}}{1-g} ] }, \\ D = \frac{b_j - \rho \sigma \phi i + d}{\sigma^2} [ \frac{1-e^{d \tau}}{1-ge^{d \tau}} ], \\ g = \frac{b_j - \rho \sigma \phi i + d}{b_j - \rho \sigma \phi i - d}, \\ d = \sqrt{(\rho \sigma \phi i - b_j)^2 - \sigma^2(2 u_j \phi i - \phi^2)}, \\ b_1 = \kappa \rho \sigma \; \; \; b_2 = \kappa \\ u_1 = \frac{1}{2} \; \; \; u_2 = - u_1. $$ por lo que parece bastante evidente que para los casos donde el modelo de Heston es equivalente a la de Black-Scholes, se debe tener $P_1 = \mathcal{N}(d1)$ y $P_2 = \mathcal{N}(d2)$.

Para demostrarlo, vamos a tomar $ \theta = \nu_0, \sigma = 0 $, lo que implica $\forall \nu_0, d\nu_t = 0$.

Cuando sólo teniendo en cuenta la Heston dinámica, estos parámetros funcionan muy bien y todo está bien comportado. La semi-soluciones analíticas, sin embargo, adolecen de una división por cero (ex. $g$) y no pueden ser manejados directamente. Así que en lugar de simplemente queremos tomar de ellos en el límite de $\sigma \to 0$. Aquí es donde se pone complicado ahora, como nos quedamos con algunas muy complicadas fórmulas y sin vínculo aparente a $\mathcal{N}(d_j)$. Traté de Mathematica más potentes capacidades de cálculo simbólico, pero fue incapaz de demostrar la igualdad.

Probar algunos otros casos límite, he hecho las siguientes observaciones:

• Por $\nu_0 \to 0$, todos los métodos convergen en el precio correcto (Black Scholes).
• Para baja huelgas, $K \a 0$, todos los métodos convergen en el precio correcto ($S_0$).

Para mí, esto sugiere que el problema está en $P_2$, pero eso es todo lo que tengo hasta ahora.

Qué dirección debo tomar?

Answer 1

Para recuperar el Black-Scholes de precios ecuación, primero debe expresar la normal estándar cdf en términos de su función característica análoga a la Heston solución: $$ N(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} Re [\frac{e^{-i\phi x} f(\phi)}{i\phi}] d\phi $$ donde $f(\phi)$ es la función característica de la distribución normal estándar: $$ f(\phi) = e^{-\frac{1}{2}\phi^2}. $$ Por lo tanto, la fórmula Black-Scholes se convierte en $$ C(S,t) = S P_1 - K e^{-r(\tau)} P_2, $$ donde $$ P_j = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} Re [\frac{e^{-i\phi d_j} f(\phi)}{i\phi}] d\phi \\ f_j = e^{-\frac{1}{2}\phi^2}, \\ d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K})+(r+\frac{\nu_0}{2})(\tau)}{\sqrt{\nu_0}\sqrt{\tau}} \\ d_2 = \frac{\ln(\frac{S}{K})+(r-\frac{\nu_0}{2})(\tau)}{\sqrt{\nu_0}\sqrt{\tau}} = d_{1}-\sqrt{\nu_0}\sqrt{\tau}. $$

La distribución en el modelo Black-Scholes es estandarizado, mientras que en el modelo de Heston, no lo es. Puede ser más fácil primero transformar la $P_j$ términos, de modo que tienen una estructura similar. Con $x=\log(S)$, el $P_j$ términos puede ser reescrita como: $$ P_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} Re [\frac{e^{-i\phi \log(K)} e^{i\phi x + i\phi r \tau } f_1(\phi)}{i\phi}] d\phi \\ f_1 = e^{\frac{1}{2} i v_0\tau\phi -\frac{1}{2} v_0 \tau \phi^2}, \\ P_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} Re [\frac{e^{-i\phi \log(K)} e^{i\phi x + i\phi r \tau } f_2(\phi)}{i\phi}] d\phi \\ f_2 = e^{-\frac{1}{2} i v_0\tau\phi -\frac{1}{2} v_0 \tau \phi^2}. \\ $$ De esta forma, usted debería ser capaz de demostrar que el modelo de Heston converge para el modelo Black-Scholes como $\sigma \to 0$ cuando $\theta = v_0$ (aunque los detalles pueden ser muy tedioso ir a través de...). Puede que desee probar equivalente formulaciones de la solución, aparte de Heston original (por ejemplo, la forma en Gatheral: La Volatilidad de la Superficie o Cont & Tankov: modelos Financieros con Salto de Procesos), de manera de evitar la división por cero problema un poco.