¿El precio de la americana (poner) la opción de exhibir suave pegar en el tiempo bajo la dirección de B-S modelo?

Question

Consideremos el modelo BS y dejar que $f(s,t)$ denotar el precio de una opción put Americana con $t$ de su vencimiento, entonces es conocida la solución de la parada óptima (cuando es de riesgo neutral) relacionadas con esta Americana de la opción de venta puede ser caracterizada por una curva continua, monótona decreciente, curva convexa $c(t)$ tal que $c(0)=K$ y $c(\infty)$ es un límite conocido de el eterno problema.

Nos deja denotar $C$ como la continuación de la región de este problema, que es de $\{(s,t):s>C(t)\}$ y $D=C^c$ es la detención de la región. Está bien establecido que la suave pegar se exhibió en el límite, es decir,

$$\lim_{(t,s)\rightarrow(T,C(T))}\partial_sf(s,t)= -1$$

Esta condición puede ser demostrado de muchas maneras diferentes a través de la teoría clásica, así como los argumentos usando la viscosidad de las soluciones. Mi pregunta es: se sabe algo de tiempo derivativa cuando nos acercamos a la frontera?

Por ejemplo, hace

$$\lim_{(t,s)\rightarrow(T,C(T))}\partial_tf(s,t)= 0$$

sostenga?

Answer 1

El Black-Scholes de la PDE tiene en la continuación de la región : $$ u_t = - \frac{1}{2} \sigma^2 u_{ss} $$ (haciendo caso omiso de la tasa de interés). Esta dice que la theta es tan suave como la gamma. El "suave pegar" la literatura se menciona muestra que el delta es continua en el ejercicio de límite, pero la gamma tiene un salto. Así theta tiene un salto así. En otras palabras, en el momento en que la dirección de los precios es continua, sino que su derivada es no.