Aquí estaba mi intento de prueba:
Primero veamos el caso del "si".
Supongamos que $ \succcurlyeq $ en $X$ es racional, continua, aditiva, monótona y no trivial.
PERO
Caso 1: $x \succcurlyeq y$ y $p \cdot x < p \cdot y \ \forall p$
Supongamos que $p = \{ \frac {1}{s} \cdots \frac {1}{s}\}$
$$p \cdot x < p \cdot y \implies \frac {1}{s} \sum ^s_{i=1} x_i < \frac {1}{s} \sum ^s_{i=1} y_i \implies \sum ^s_{i=1} x_i < \sum ^s_{i=1} y_i$$
Así que $x \succcurlyeq y \iff x \geq y$ por la monotonicidad
$x \geq y \iff x_i \geq y_i \ \forall i$ por definición
pero entonces $ \sum ^s_{i=1} x_i \geq \sum ^s_{i=1} y_i$ lo cual es una contradicción.
Caso 2: $p \cdot x \geq p \cdot y$ y $y \succ x \ \forall p$
De manera similar, escoge el mismo $p$ .
$$p \cdot x \geq p \cdot y \implies \sum ^s_{i=1} x_i \geq \sum ^s_{i=1} y_i$$
$y \succ x \iff y > x$ por la monotonicidad
pero entonces $ \sum ^s_{i=1} x_i < \sum ^s_{i=1} y_i$ lo cual es una contradicción.
Ahora, veamos el caso de "sólo si".
Deje que $u(x) = p \cdot x$ y $ \exists \ p$ s.t. $ \forall x,y$ entonces $x \succcurlyeq y \iff p \cdot x \geq p \cdot y$
Ahora queremos mostrar nuestras cinco propiedades y la singularidad de $p$ .
Lo anterior implica que
$ \exists \ p$ s.t. $ \forall x,y$ Entonces $x \succcurlyeq y \iff U(x) \geq U(y)$
Esta tenemos la función de utilidad representación por definición. Es una prueba básica desde el principio de su clase probablemente que la representación implica racionalidad .
También podemos decir si $U(x)$ es continua en $X$ y $U(x)$ representa $ \succcurlyeq $ en $X$ esto implica que las preferencias son continuo .
$x \succcurlyeq y \iff p \cdot x \geq p \cdot y \iff p \cdot (x + z) \geq p \cdot (y + z) \iff x + z \succcurlyeq y + z \quad \forall x,y,z \in X$
Así que eso demuestra aditividad .
Ahora supongamos monotonicidad no se sostiene. Supongamos que $x \succcurlyeq y \implies p \cdot x \geq p \cdot y$
pero además, $x < y$ $ \implies p \cdot x < p \cdot y$ lo cual es una contradicción.
Supongamos que no trivialidad no se sostiene. Supongamos que $x \sim y \ \forall \ x, y$ donde $x \neq y$ así que $x$ y $y$ son únicos. Pero ahora tenemos monotonía.
pero $x > y \iff x \succ y$ y $y > x \iff y \succ x$
Por la singularidad de $p$ a partir del esquema que usted eligió $x, y \in X$ donde $x \sim y$ para ambos $p$ y $p' = (p + \epsilon , 1-p- \epsilon )$
Esto sólo puede ser cierto si $ \epsilon = 0$ o si $x$ y $y$ no son únicos, es decir, $x_i = y_i \ \forall i$ . Descartaremos el caso trivial en el que $x$ y $y$ no son únicos y muestran $ \epsilon = 0$ (y así $p = p'$ )
$$px_1 + (1-p)x_2 = py_1 + (1-p)y_2$$ y $$(p+ \epsilon )x_1 + (1-p- \epsilon )x_2 = (p+ \epsilon )y_1 + (1-p- \epsilon )y_2$$ La segunda ecuación implica $$px_1 + \epsilon x_1 + (1-p)x_2 - \epsilon x_2 = py_1 + \epsilon y_1 + (1-p)y_2 - \epsilon y_2$$
Reste la primera ecuación de esta ecuación.
$$ \epsilon x_1 - \epsilon x_2 = \epsilon y_1 - \epsilon y_2$$ $$ \epsilon (x_1 - x_2) = \epsilon (y_1 - y_2)$$
Considere si $x_1 + \delta = y_1$ y $x_2 + \delta = y_2$ para cualquier $ \delta > 0$ .
Entonces las diferencias $x_1 - x_2$ y $y_1 - y_2$ son iguales, pero el paquete x tendrá resultados monetarios más altos en cualquier estado que ocurra, así que $x \succ y$ . Contradicción.
De manera similar, si $x_1 = y_1 + \delta $ y $x_2 = y_2 + \delta $ Entonces $y \succ x$ que es de nuevo una contradicción con $x \sim y$
Así, $ \epsilon = 0$ .
$ \square $
