¿Por qué Bjork nunca demostrará que la condición de integrabilidad se satisface?

Question

Una técnica importante empleada a lo largo de la "Teoría del arbitraje en tiempo continuo" de Bjork es que al tomar la expectativa de una integral estocástica, el resultado es 0.

Esto se basa en un resultado presentado en el capítulo 4, que establece que si el integrando, digamos $\psi$ , satisface que $\int_0^t E \psi^2 ds < \infty$ entonces la expectativa de $\int_0^t \psi dW_s$ es cero.

Sin embargo, en los argumentos posteriores, independientemente de la complejidad $\psi$ puede haber sido definida en ese entorno, el autor nunca demuestra que esta condición no trivial se satisface realmente, lo que me causa problemas al hacer los ejercicios, ya que no sé si yo también puedo suponer que se satisface, o si tengo que hacer algunos cálculos muy tediosos para demostrar que es así.

Entonces, ¿es normal no comprobarlo? ¿Existe una forma fácil de ver que está satisfecho?

Answer 1

Esta es una condición suficiente para la integrabilidad cuadrada de $\psi(t,\omega)$ que puede ser muy útil. Dado el proceso estocástico $X(t,\omega)$ satisfaciendo el SPDE $$dX = \mu(t,X)dt+\sigma(t,X)dW$$ donde $(\mu(t,x),\sigma(t,x))$ es continua de Liptschitz, creo que $\displaystyle\int_t^T \mathbf E[\sigma(s,X)^2]ds<\infty$ . Nótese que las funciones dependen de la variable espacial $x$ en lugar de la muestra más general $\omega$ . Escribiré la prueba cuando tenga tiempo.

Answer 2

Deberíamos comprobar las propiedades de la martingala.

Dejemos que $(\Omega ,\mathcal{F},\{\mathcal{F}\}_{t\ge 0},\mathbb{P}) $ sea un espacio de probabilidad filtrado. Definimos la clase de funciones , $\mathcal {V} =\mathcal {V}(t,T)$ , como se indica a continuación $$\psi(t,\omega):[0,\infty)\times\Omega\to\mathbb{R}$$ tal que

• $(t,\omega)\to \psi(t,\omega)$ es $\mathcal{B}\times\mathcal{F}$ donde $\mathcal{B}$ denota el álgebra de Borel en $[0,\infty)$ .
• $\psi(t,\omega)$ es $\mathcal{F}_t$ adaptada.
• $\mathbb{E}\left[\int_{t}^{T}\psi^2(s,\omega)ds\right]<\infty$

En este caso, tenemos $$\mathbb{E}\left[\int_{t}^{T}\psi(s,\omega)dW_s\right]=0$$

Nota:

Si $M_t$ sea una martingala arbitraria con respecto a $\{\mathcal{F}\}_{t\ge 0}$ y $\psi(.,\omega)$ esté acotado, entonces $\int_{t}^{T}\psi(s,\omega)dM_s$ es una martingala, y $$\mathbb{E}\left[\int_{t}^{T}\psi(s,\omega)dM_s\right]=0$$

Ejemplo de contador

El modelo de elasticidad constante de la varianza , CEV describe un proceso que evoluciona según la siguiente ecuación diferencial estocástica: $$dS_t=\mu S_t dt+\sigma S_t^{\gamma} dW_t\tag 1$$ donde Los parámetros constantes $\mu\,,\sigma$ y $\gamma $ satisfacen las condiciones: $\mu\in\mathbb{R}$ , $\sigma\ge 0$ y $\gamma\ge 0$ .

El parámetro $ \gamma $ controla la relación entre la volatilidad y el precio, y es la característica central del modelo. Cuando $ \gamma <1$ vemos el llamado efecto de apalancamiento, comúnmente observado en los mercados de acciones en los mercados de acciones, donde la volatilidad de una acción aumenta a medida que su precio cae. Por el contrario, en los mercados de materias primas se observa a menudo $\gamma>1$ el llamado efecto de apalancamiento inverso, por el que la volatilidad del precio de una mercancía tiende a aumentar a medida que aumenta su precio.

Utilizo la técnica estándar, puedo integrar, tomar expectativas, diferenciar ¡¡¡con respecto al tiempo y resolver mediante técnicas de EDO !!! . Ahora, escribo la ecuación $(1)$ en forma integral $$S_t=S_0+\mu\int_{0}^{t}S_u du+\sigma\int_{0}^{t}S_u^\gamma dW_u\tag 2$$

Se sabe que la expectativa de una integral estocástica es cero, por lo que

$$\mathbb{E}[S_t]=S_0+\mu\int_{0}^{t}\mathbb{E} [S_u] du\tag 3$$

Esto se puede diferenciar para obtener la ecuación diferencial ordinaria $$\frac{d\mathbb{E}[S_t]}{dt}=\mu \mathbb{E}[S_t]\tag 4$$ que tiene la solución única $$\mathbb{E}[S_t]=S_0e^{\mu t}$$

Efectivamente este procedimiento es tan erróneo . Para $\gamma> 1$ , $$\mathbb{E}[S_t]<S_0e^{\mu t}\tag 5$$ . De hecho, si $\gamma> 1$ entonces se cumple la propiedad martingala local y $\int_{0}^{t}S_u^\gamma dW_u$ no es una martingala adecuada, y tiene una expectativa estrictamente negativa en todos los tiempos positivos. La razón por la que la propiedad martingala falla aquí para $\gamma>1$ es que el coeficiente $\sigma S_t^\gamma$ de $dW_t$ crece demasiado rápido en $\ S_t$ .