Demostración de Ito del término de corrección/lema en el árbol binomial

Question

Estoy preparando una licenciatura QuantFinance conferencia. Quiero demostrar que las ideas de Ito del término de corrección y de Ito lema en la mayoría de manera accesible.

Mi idea es tomar el "caballo de trabajo" en Finanzas Cuantitativas, el modelo binomial y demostrar ambos conceptos. Por desgracia no he encontrado ninguna referencias y estoy encontrando dificultades imprevistas a mí mismo en la combinación de ambos puntos de vista.

Cuando estos conceptos se puede encontrar en el continuo de la versión en la que debe estar escondido en la versión discreta demasiado - ¿alguien puede demostrar por favor por este medio o dar alguna referencia.

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He encontrado la siguiente demostración de una sesgada de Galton de la junta que se traduce en una distribución lognormal aquí:

Se describe en este artículo demasiado (p. 343): http://stat.ethz.ch/~stahel/logarítmico-normal/ciencias biológicas.pdf

Pienso que si en cualquier lugar - Ito del lexema/término de corrección debe ocultar aquí. Pero esto tiene que ser hecho exacto!

Answer 1

En realidad es bastante simple para demostrar Ito del término de corrección en un árbol binomial.

Los detalles se pueden encontrar en mi nuevo papel (p. 8-10):
von Jouanne-Diedrich, Holger: Ito, Stratonovich y Amigos (21 de abril de 2017)

Resumen
Esta exposición debe proveer de usted con la mayor imagen de cálculo estocástico, especialmente las integrales estocásticas. Es de forma heurística y pedagógicamente desarrolla conceptos clave y las intuiciones de uno de los más importantes campos de la matemática aplicada hoy en día, es decir, en finanzas cuantitativas. Se clarifica ideas en las que normalmente demasiado crudamente atontada o escondido bajo muy técnicos los detalles, por lo que este texto intenta llenar un eslabón perdido en la literatura donde no parece haber ninguna tierra de en medio a partir de hoy. Además, el documento da dos resultados que no se puede (al mejor de mi conocimiento) fácilmente encontradas en la literatura clásica: una ilustración de la Ito término de corrección dentro de binomio de árboles y una expansión de Taylor para la integral de Stratonovich.

Aquí sólo dar un resumen de la idea general:

Vamos a empezar con un simple árbol binomial con $n$ pasos y $p=\frac{1}{2}$. A continuación, podemos transformar este árbol con una función convexa, por ejemplo, con la función cuadrática.

Después de que se compara el valor esperado de la transformación del árbol con el cuadrado del valor esperado del árbol original - la diferencia es Ito del término de corrección.

Todo esto conduce a una identidad bien conocida: $$\mathbb{E}[X^2]=\mathbb{E}[X]^2+Var[X]$$

Así que en este caso la varianza puede ser interpretado como Ito del término de corrección - una buena correspondencia con el bien conocido $\frac{1}{2}\sigma^2$plazo en la media de la log-normal de distribución.

Answer 2

Dudo que usted puede hacer esto. Término de corrección aparece en Ito debido a que el movimiento Browniano tiene una infinidad de variación (distinto de cero cuadrático de variación). En discretos y por lo tanto finito de modelos se puede observar este fenómeno.

Answer 3

Una manera de empezar a pensar acerca de esto es el trabajo un par de

Las versiones diferentes de Ito lema

1. Øksendal (6ª edición) Ejemplo 3.1.9: casi seguramente, $$ B_t^2 - t = \int_0^t 2B_s dB_s $$

Este tiene una discreta versión que tiene en todas partes: vamos a $X_n=\pm 1$ y $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$, entonces $$ S^2_n-n = 2\sum_{i=0}^{n-1} S_i X_{i+1} $$ Para verificar que sólo tenga en cuenta que ambos lados con un aumento de $2S_{n-1}X_n$ cuando $n-1$ a $n$.

2. Øksendal del ejercicio 4.2: $$ B_t^3 = \int_0^t 3B_s ds + \int_0^t 3B_s^2 dB_s $$

Aquí la versión discreta no es perfecto analógica: $$ S_n^3 - S_n = 3\sum_{i=0}^{n-1} (S_i + S_i^2 X_{i+1}) $$ El plazo adicional $S_n$ parece estar relacionado con el hecho de que $(dB_t)^3 = 0$.