Justa y eficiente asignación de los "bienes de familia"

Question

Considere la posibilidad de un intercambio de la economía con dos bienes, por ejemplo, los muebles de la casa (x) y material eléctrico (y). Lo interesante acerca de estos productos es que, cuando una familia es propietaria de un lote, todos los miembros de la familia puedan disfrutar de la misma agrupación (que es como un "club de la buena", pero sólo para la familia).

Hay dos familias. En cada familia hay miembros diferentes, con diferentes preferencias sobre paquetes. Suponga que todas las preferencias son monótonamente creciente y estrictamente convexa.

Una asignación es un par de paquetes, $(x_1,y_1)$ para la familia 1 y $(x_2,y_2)$ para la familia 2.

Una asignación se llama envidia-gratis si:

• Todos los miembros de la familia 1 creo que $(x_1,y_1)$ es al menos tan buena como $(x_2,y_2)$;
• Todos los miembros de la familia 2 creo que $(x_2,y_2)$ es al menos tan buena como $(x_1,y_1)$.

Una asignación es llamado Pareto-eficiente si no existe otra asignación de paquetes a las familias de tal manera que todos los miembros de todas las familias débilmente prefieren y al menos uno de los miembros de una familia estrictamente prefiere.

¿Bajo qué condiciones un Pareto-eficiente envidia-de la asignación gratuita de existir?

Si cada familia tiene un solo miembro, a continuación, una de Pareto-eficiente envidia-de la asignación gratuita existe; este es un famoso teorema de Varian. Tiene este teorema sido generalizada de los individuos a las familias?

Answer 1

Ahora mismo no estoy seguro acerca de la equivalencia de las reetiquetar, y por lo tanto la utilidad de este anwer -- ver los comentarios de abajo.

Este es el comienzo de una respuesta y un intento de demostrar lo fuerte que es necesario supuestos tendría que ser la garantía de la existencia.

Vamos a transformar el problema en uno equivalente pero un poco más fácil trabajar con. En lugar de indexación sobre las familias, vamos en lugar de un índice sobre los agentes (miembros de las familias). La clave de este re-etiquetado es la comprensión de que las familias pueden ser escritas como las restricciones: Si los agentes de $i$ y $j$ pertenecen a la misma familia, entonces $x_i=x_j$ y $y_i = y_j$.

Ahora estamos de vuelta en el entorno estándar con agentes individuales (no familiares), pero con estos familiar restricciones. Recordar que la prueba de Varian del teorema, el cual se vincula en la pregunta. Se utiliza la existencia de un equilibrio competitivo de la igualdad de ingresos. En este contexto, sería necesario la existencia de un equilibrio competitivo de la igualdad de ingresos en el que el familiar restricciones se han cumplido. Esto va a ser muy difícil de hacer. Por ejemplo, considere el $i$ y $j$ están en una familia, y $$ u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ y } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j $$ donde $\varepsilon>0$, es diminuto. Estas preferencias son monótonas y convexa. Básicamente, un miembro de la familia se preocupa por $x$ y el otro se preocupa por $y$. Si cada uno de los dos agentes es la compra de $x$ y $y$ para maximizar su utilidad, no es de esperar $x_i^* = x_j^*$ o $y_i^* = y_j^*$ en el equilibrio competitivo (ver anexo al final).

Esta es la razón por la que sin duda necesita algunas hipótesis sobre la preferencia de las similitudes dentro de las familias (al menos para utilizar una versión de Varian de la prueba). Mi sensación es que si me puede dar alguna arbitrariamente pequeña diferencia en las preferencias entre los miembros de la familia, puedo construir un ejemplo, donde no existe el CEEI en el que ellos elijan la misma asignación. Y entonces, al menos, no se puede usar Varian de la prueba.

Dos preguntas:

1. ¿Está usted de acuerdo que mi reformulación del problema es formalmente equivalente a la nada?
2. Puede usted pensar en alguna suposición más débil que suponiendo que la preferencia de homogeneidad dentro de la familia con la que puedo intentar invalidar con un contra-ejemplo?

Addendum: Recuerde que en un equilibrio competitivo, cada agente de la tasa marginal de sustitución (MRS) es igual a la relación de precios. Aquí, mis agentes han constante y diferente de la SEÑORA, así que no puede existir ningún equilibrio competitivo con un precio que equivale al tanto de su SEÑORA de la. Si cada agente tiene una SEÑORA que varía, entonces tal vez podría pasar a ser igual en el equilibrio de la relación de precios. Así que tal vez usted podría conseguir lejos con alguna noción de local homogeneidad de los familiares de las preferencias. Pero debes tener ser localmente homogénea en el equilibrio competitivo, que es exactamente lo que usted está tratando de demostrar que existe, así que sería un poco circular.

Nota importante: Como se mencionó anteriormente, estoy asumiendo que la única manera de probar la existencia es cómo Varian hizo, a través de CEEI. Puede haber otras pruebas técnicas que la falda de estos temas, pero sospecho que no.

Más allá de CEEI: Como el OP señala en los comentarios, demostrando la existencia de PEEFs a través de los CEEI como Varian no es algo restrictiva. No tengo mucho para decir que se trata de probar la existencia de PEEFs directamente, pero el siguiente es evidente: Para cualquier asignación de la satisfacción de su Pareto eficiencia condición (ignorar envidia-la libertad, por el momento), para todo $i,j$ tales que $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$, $$MRS_i = MRS_j$$ Si esto no fuera cierto, no habría una mejora de Pareto. Equilibrio competitivo esencialmente equivale a la SEÑORA a través de la relación de precios, pero usted todavía necesita para equiparar estos MRS es sólo para encontrar un Pareto eficiente asignación. Creo que el familiar restricciones hará esta muy difíciles, no es difícil encontrarse con un ambiente familiar y limitaciones que no existe ningún Pareto eficiente de equilibrio satisfacer las restricciones. En cualquier caso, este podría ser otro parcial paso hacia una respuesta: olvídese de la envidia-la libertad. Primero trate de un supuesto de preferencias (y tal vez en familiar restricciones) que garantiza la existencia de un Pareto eficiente asignación que satisface familiar restricciones. A continuación, la preocupación acerca de la envidia.

Answer 2

Supongamos que hay dos familias: la Familia U ha $n_u$ miembros, y de la familia de V $n_v$ miembros. La utilidad de la función de miembro de la $i$ de la familia U es: \begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*} donde todos los $a_i$s son positivos para todas las $i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$,

y la función de utilidad de los estados $j$ de la familia de V es: \begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*} donde todos los $b_j$s son positivos para todos los $j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$.

Además, supongamos que $\min_i a_i \geq \max_j b_j$.

Supongamos que la dotación total de vectores de $X$ y $Y$ es $(\omega_X, \omega_Y)$.

Para cualquier $\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$, definir $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2} $.

Comprobar que, si $\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$, entonces $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ y $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ es Pareto eficiente envidia de asignación gratuita, y por otro lado, si $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$, entonces $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ y $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$ es Pareto eficiente envidia de asignación gratuita.

Answer 3

Supongamos que las preferencias de todos los agentes en todas las familias son monótonas y convexo (el estándar de los supuestos de la teoría del consumidor).

Entonces, una de Pareto-eficiente envidia-de la asignación gratuita siempre existe cuando hay dos familias. Sin embargo, es posible que no exista cuando no ar tres o más familias.

Las pruebas y los ejemplos se pueden encontrar en este documento de trabajo.

Answer 4

La declaración del problema implica que X e y no pueden ser sustitutos (un dispositivo eléctrico puede ser utilizado como los muebles de la casa).

Una de Pareto-eficiente envidia-de la asignación gratuita existe cuando:

Por lo menos un agente, al menos algunos de los bienes negativas de utilidad o se complementan, y los agentes pueden optar por no consumir.

Ejemplo:

1. Los agentes a y B están en la familia de la F1.
2. La función de utilidad del agente es:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

3. La función de utilidad del agente de B es:

Ub = X1-X2+Y1-Y2

4. Los agentes de C y D están en la familia 2.
5. Agente de C tiene una función de utilidad:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

6. Agente D tiene función de utilidad:

Ud = -X1+X2-Y1+Y2

Solución:

F1 prefiere (X1, Y1) y el agente se eligió a no consumir ningún bien.

F2 prefiere (X2, Y2) y el agente C decidido no consumir ningún bien.

Estos son realmente los argumentos semánticos y no es significativa equilibrio sin asumir compartido preferencias.