Sustitución perfecta, con una serie de productos?

Question

Imagine que tiene un continuo de diferentes bienes indexados por $\omega \in [0,1]$. Tengo un hogar en el que se consume una cantidad de $C(\omega)$ buena $\omega$, y paga un precio de $P(\omega)$. La casa cuenta con un presupuesto igual a 1, y tiene un lineal de la función de utilidad.

$$U(C) = \int_{0}^1 C(\omega) d\omega $$

El consumidor elige a su consumo paquete por resolver el problema

$$\max_{C} U(C) $$ $$ \text{Objeto}: \int_{0}^1 P(\omega) C(\omega) d\omega \leq 1.$$

Mi pregunta es con respecto a el hecho de que este problema parece mal definidos. Si yo fuera a ir por delante de resolver el problema de optimización, que tendría el consumidor elige

$$C(\omega) = \begin{casos} \frac{1}{P(\omega)} \text{ si } P(\omega) = \min_{\omega'} P(\omega') \\ 0 \text{ lo contrario.} \end{casos}$$

Sin embargo, esto significa que $U(C) = \int_{0}^1 C(\omega) d\omega = 0$y $\int_{0}^1 P(\omega)C(\omega) = 0$ desde $C(\omega) = 0$ en casi todas partes.

Hay una matemática más sólida sobre la forma de definir este problema? Un enfoque que he visto es el uso de funciones delta de Dirac, pero no estoy seguro de que es correcto. Es decir, definir

$$U(C) = \int_{0}^1 C(\omega) \delta_{\omega} d\omega$$ donde $\delta(\omega)$ es una `función", que es igual a $+\infty$ en $\omega$ y $0$ en todas partes.

Answer 1

Parece que el problema se especifica como se especifica ahora debe tener como solución $C(\omega)=\frac{\delta(\omega)}{P(\omega)}$ si $P(\omega)=\min_{\omega'} P(\omega')$ , y cero en caso contrario. La solución propuesta no puede ser óptima debido a la restricción presupuestaria, no se agota. Si dejamos que $\omega^*$ ser el índice de la más barata, buena, la indirecta de utilidad sería entonces de $U^*(P(w))=1/P(\omega^*)$.