Cuando la volatilidad implícita ATM es superior a la OTM put y call creo que el smile de volatilidad ya no está libre de arbitraje? ¿Por qué?
Por otra parte, cuando la volatilidad implícita ATM es inferior a la OTM put y call, ¿la sonrisa de volatilidad está siempre libre de arbitraje? ¿Por qué?
En general estoy de acuerdo con la respuesta de @dm63: Una sonrisa convexa (cóncava) alrededor del forward suele indicar y una densidad de probabilidad implícita riesgo-neutral leptokurtica (platykurtica). Ambas situaciones pueden o no admitir arbitraje. Le proporciono dos contraejemplos a sus afirmaciones.
Una sonrisa de volatilidad cóncava en torno al plazo no representa necesariamente un arbitraje.
Las sonrisas cóncavas suelen aparecer cuando se fija el precio de un salto significativo con un momento previsible de ocurrencia. Este suele ser el caso de los valores individuales en torno a los anuncios de beneficios trimestrales o de los índices en torno a acontecimientos macroeconómicos como elecciones, referendos o decisiones sobre tipos de interés.
Consideremos, por ejemplo, un activo subyacente que no se mueve salvo por un único salto. Sea $X_t = \ln \left( S_t / S_0 \right)$ y definir
\begin{equation} X_t = \int_0^t \gamma(u) \mathrm{d}u + Y \mathrm{1} \left\{ t \geq t_J \right\}. \end{equation}
Aquí, el tiempo de salto $t_J$ es conocido y tiene el tamaño de salto aleatorio $Y$ . $\gamma$ es una deriva determinista que se elige de forma que los precios descontados de los activos sean una martingala bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo $\mathbb{P}^*$ . Viene dado por
\begin{equation} \gamma(t) = r - \ln \left( \phi_Y(-\mathrm{i}) \right) \delta \left( t - t_J \right), \end{equation}
donde $\phi_Y(\omega)$ es la función característica de $Y$ y $\delta$ es la función delta de Dirac.
Supongamos que $Y$ sigue una distribución de mezcla normal, es decir
\begin{equation} Y \sim \begin{cases} Y_1 & \text{with probability }p\\ Y_2 & \text{with probability } 1 - p.\end{cases} \end{equation}
donde $Y_1 \sim \mathcal{N} \left( \mu_1, \sigma_1^2 \right)$ y $Y_2 \sim \mathcal{N} \left( \mu_2, \sigma_2^2 \right)$ . Este modelo suele generar densidades implícitas platicurticas y sonrisas de volatilidad implícita cóncavas.
He aquí un ejemplo numérico. Sea $t_J = 1 \text{ day}$ , $\mu_1 = -5\%$ , $\mu_2 = +5\%$ , $\sigma_1 = \sigma_2 = 2\%$ y $p = 50\%$ . Además $S_0 = 100$ , $r = 0\%$ y considerar un vencimiento de $T = 1 \text{ week}$ . Obtenemos la siguiente densidad implícita y sonrisa de volatilidad.
En la práctica, habría que considerar una dinámica subyacente más compleja/realista como, por ejemplo, un modelo de volatilidad estocástica y/o de difusión de saltos.
Por poner un ejemplo real: Aquí está la sonrisa de volatilidad implícita del DAX 30 a 1 de diciembre de 2016 para el vencimiento 9 de diciembre de 2016. En la noche del domingo 5 de diciembre se produjo un salto debido al referéndum italiano que, a grandes rasgos, tuvo los siguientes parámetros implícitos $\mu_1 = +2\%$ , $\mu_2 = -3.5\%$ , $\sigma_1 = \sigma_2 = 1.5\%$ y $p = 70\%$ .
Una sonrisa de volatilidad que es convexa alrededor del plazo no está necesariamente libre de arbitraje.
Algunas parametrizaciones populares de la sonrisa de volatilidad implícita no están libres de arbitraje en toda su gama de parámetros.
Roper (2010), por ejemplo, muestra que la llamada parametrización original del IVS "libre de arbitraje" de Gatheral (2004) en realidad no está libre de arbitraje, incluso para combinaciones de parámetros realistas; véanse las Figuras 1 y 2 de su artículo.
Otro ejemplo es la parametrización SABR de Hagan et al. (2002), de la que se sabe que genera densidades negativas en los golpes lejanos a la baja.
Para ambos ejemplos, existe una vasta literatura que tiene como objetivo proporcionar formulaciones alternativas libres de arbitraje.
Referencias
Gatheral, Jim (2004) "A Parsimonious Arbitrage-Free Implied Volatility Parametrization", Presentación, Global Derivatives & Risk Management 2004
Hagan, Patrick S., Deep Kumar, Andrew S. Lesniewski y Diana E. Woodward (2002) "Managing Smile Risk", Wilmott Magazine
Roper, Michael (2010) "Arbitrage Free Implied Volatility Surfaces", Documento de trabajo, Universidad de Sídney.
Respeto que hayas utilizado la expresión "parametrización del IVS", ya que sé que mucha gente lo llama erróneamente modelo. Pero, ¿por qué llamarlo "parametrización SABR"? A mí me parece que SABR presupone cierto proceso subyacente.
Tienes razón en que hay un modelo estocástico subyacente. Este modelo está libre de arbitraje y también lo están las correspondientes volatilidades implícitas (exactas) que se podrían obtener, por ejemplo, resolviendo numéricamente la EDP. Lo que yo llamo parametrización SABR es la aproximación de segundo orden que se da en el artículo original. Esta última presenta a menudo violaciones de arbitraje en los strikes bajos.
El modelo del primer ejemplo se especifica en términos de su función característica (es decir, la transformada de Fourier de la densidad). Puede utilizar el método COS de Fang y Oosterlee para calcular tanto los precios de las opciones como la densidad a partir de la función característica. Véase también matthiasthul.com/wordpress/2016/11/09/ .
Ninguna de las dos situaciones es necesariamente un arbitraje. La sonrisa negativa es coherente con una función de densidad de cola fina, al igual que la sonrisa positiva es coherente con una función de densidad de cola gruesa. Es cierto que una cantidad extrema de sonrisa negativa podría hacer que la densidad implícita fuera negativa en algunos lugares, es decir, un arbitraje.
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