¿Explica la varianza derivada de GARCH la autocorrelación de una serie temporal?

Question

Dada una serie temporal $u_i$ de rendimientos (donde $i=1,\dotsc,t$ ), $\sigma_i$ se calcula a partir de GARCH(1,1) como $$ \sigma_i^2=\omega+\alpha u_{i-1}^2 +\beta \sigma_{i-1}^2. $$ ¿Cuál es la base matemática para decir que $u_i^2/\sigma_i^2$ ¿exhibirá poca autocorrelación en la serie?

El libro de Hull "Options, Futures and Other Derivatives" es una excelente referencia. En la 6ª edición, p. 470, "¿Cómo de bueno es el modelo?", afirma que

Si un modelo GARCH funciona bien, debería eliminar la autocorrelación. Podemos comprobar si lo ha hecho considerando la estructura de autocorrelación de las variables $u_i^2/\sigma_i^2$ . Si estos muestran muy poca autocorrelación nuestro modelo para $\sigma_i$ ha logrado explicar la autocorrelación en el $u_i^2$ .

La estimación de máxima verosimilitud para la varianza termina con la maximización de $$ -m \space \ln(v) -\sum_{i=1}^{t} u_i^2/v_i $$ donde $v_i$ es la varianza = $\sigma_i^2$ .
Esta función no significa realmente $u_i^2/v_i$ que se minimiza, porque $-\ln(v_i)$ se hace más grande y también lo hace $u_i^2/v_i$ como $v_i$ se hace más pequeño. Sin embargo, tiene sentido intuitivo que al dividir $u_t$ La rentabilidad por su volatilidad (instantánea o de régimen) explica el componente de volatilidad de la serie temporal. Estoy buscando una explicación matemática o lógica de esto.

Creo que Hull no es muy preciso en este caso, ya que las series temporales pueden tener tendencias, etc.; además, hay mejores enfoques para encontrar la i.i.d. de las series temporales que utilizar $u_i^2/\sigma_i^2$ solo. Me gusta especialmente Filtrar la simulación histórica - Análisis de Backtest de Barone-Adesi (2000) .

Answer 1

¿Cuál es la base matemática para decir que $u^{2}_{t}/\sigma_{t}^{2}$ ¿exhibirá poca autocorrelación en la serie?

Vamos $r_{t}$ sea una serie de rendimientos y supongamos (Supuesto I) que sigue un proceso estacionario de covarianza definido como :

$r_{t}=\sigma_{t} z_{t}$

donde $z_{t}$ es i.i.d con $E_{t}(z_{t})=0$ y $Var_{t}(z_{t})=1$ ;

Entonces $ Var_{t}(r_{t}) =\sigma_{t}^{2}$

A continuación, si suponemos (suposición II) que el proceso de varianza condicional de $r_{t}$ sigue un GARCH(1,1), significa (Bollerslev (1986)) :

$\sigma_{t}^{2} = w + \alpha r_{t-1}^{2} + \beta \sigma_{t-1}^2 $

Se puede demostrar que la ecuación precedente puede reescribirse utilizando una representación ARMA(1,1):

$r_{t}^{2} = w + (\alpha +\beta) r_{t-1}^{2} + v_{t} - \beta v_{t-1} $

Donde $ v_{t} = r_{t}^{2} - \sigma_{t}^{2}$

sin entrar en los cálculos se ve que $r_{t}^{2} $ tiene algunas autocorrelaciones ya que tiene una estructura autorregresiva.

Sin embargo,

$r_{t}^{2}=\sigma_{t}^{2} z_{t}^{2}$

Entonces

$z_{t}^{2}=r_{t}^{2} /\sigma_{t}^{2}$

Pero sabemos que $z_{t}$ es IID(0,1), entonces sus cuadrados también serán IID.

Así que si los supuestos I y II se respetan la serie $z_{t}^{2}=r_{t}^{2} /\sigma_{t}^{2}$ (los residuos estandarizados) serán IID y no presentarán ninguna autocorrelación. Si la DGP no se ajusta perfectamente a nuestros supuestos (pero se aproxima lo suficiente), las series presentarán poca autocorrelación, ya que $z_{t}$ será casi IID.

Answer 2

En el párrafo anterior al que has citado está escrito tal cosa: " cuando $u_i^2$ es alta, hay una tendencia a $u_{i+1}^2$ , $u_{i+2}^2$ para ser alta; cuando $u_i^2$ es baja, hay una tendencia a $u_{i+1}^2$ , $u_{i+2}^2$ para ser baja". Esto significa que $u_{i+1}^2,u_{i+1}^2, u_{i+2}^2,…$ están correlacionados. Lo que por sí mismo significa que $u_i^2$ presenta autocorrelación. Si predecimos bien el $_i^2-s$ (y $u_i^2$ es una aproximación a la misma), después de dividir $_i^2$ en $u_i^2$ ya no deberíamos tener el patrón descrito en la cita. Lo que significa que estamos "eliminando la autocorrelación".