Preferencias de Leontief

Question

Puedo resolver la mayoría de los problemas de maximización de la utilidad utilizando mis conocimientos matemáticos .... pero no cuando se trata de preferencias de Leontief. No tengo un libro en el que apoyarme (soy autodidacta), así que me gustaría recibir ayuda. ¿Cómo se resuelve un problema de maximización general como $$\max [\alpha x_1, \beta x_2, \gamma x_3] \ \text{subject to } \ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = M$$ donde $M$ es el ingreso y $\lambda_i$ es el precio del bien $i$ ?

Realmente, todo lo que sé sobre derivados y pendientes se va por la ventana con esta maldita cosa. Si alguien me dijera cuáles son los precios y los ingresos, la elección óptima, cuando sólo hay unos pocos bienes, probablemente se podría encontrar aplicando simplemente el sentido común, pero ¿qué pasa con el caso general? ¿No existe una "fórmula" general como la de las funciones Cobb Douglas y CES? ¿Existe algún método que podamos utilizar en estos casos?

Answer 1

Te falta un $\min$ operador justo antes del paréntesis. El problema de maximización de la utilidad es el siguiente, $$\max \ \min [\alpha x_1, ..., \gamma x_3] \\ \ \ \text{such that} \ \ \lambda_1x_1 + ... + \lambda_3x_3 = M$$ Consideremos el caso de dos bienes con utilidad $u$ dado por $u(x) = \min[\alpha x_1, \beta x_2]$ . En el momento óptimo, ¿qué sabe usted de la relación entre $\alpha x_1$ y $\beta x_2$ ? Deben ser iguales, es decir $$\alpha x_1 = \beta x_2$$ Porque si no es así, supongamos sin pérdida de generalidad que $\alpha x_1 > \beta x_1$ . ¿Cuál es la utilidad de estas opciones de $x_1$ y $x_2$ ? Debe ser $\beta x_2$ lo que significa que parte de su dinero se está gastando en $x_1$ (suponiendo que los precios sean estrictamente positivos) pero no le está dando ninguna utilidad extra, por lo que no puede ser una elección óptima de consumo.

De ello se deduce que la igualdad debe cumplirse en un óptimo (esto es obvio también gráficamente). Junto con la restricción presupuestaria, se obtienen dos ecuaciones y dos incógnitas que pueden resolverse para el consumo óptimo. Un enfoque similar puede aplicarse al caso de $n$ bienes.

Por supuesto, lo anterior supone que estamos tratando con un problema trivial de maximización de la utilidad, y no estamos haciendo programación entera y similares.