Modelización de la reversión media a largo plazo de los rendimientos de los activos

Question

Afortunadamente, por razones obvias, son pocas las aplicaciones que requieren la simulación de los rendimientos de los activos en horizontes superiores a 30 años.

Sin embargo, a veces se realizan simulaciones a largo plazo como parte del proceso de ALM en los fondos de pensiones de prestaciones definidas. El objetivo es comprender el riesgo de la cartera y comparar alternativas, evaluando la probabilidad de llegar a una situación de infrafinanciación grave. La simulación de los pasivos se basa en modelos actuariales que tienen un grado de confianza relativamente alto para horizontes largos.

El lado de los activos es problemático. En aras del argumento, supongamos que la inversión se realiza en el índice S&P 500 y en efectivo. Los modelos simples, como el movimiento browniano geométrico, dan lugar a una dispersión excesiva de los rendimientos a largo plazo y a muchas absurdo escenarios. Esto contradice la evidencia histórica y lo que creemos que es la probable volatilidad del futuro crecimiento económico. Estos modelos simplistas también ignoran la propensión a la intervención de los bancos centrales a través de la política monetaria, que puede inducir una recuperación más rápida de las caídas y (posiblemente) limitar la formación de burbujas de activos.

Para el índice S&P 500 durante el periodo 1927 - 2017, una estimación razonable de la desviación estándar de los rendimientos anualizados es del 19% en un horizonte de 1 año y del 2% en un horizonte de 30 años. Suponiendo la independencia de los rendimientos en periodos no superpuestos, como en el caso de un modelo GBM, la desviación estándar para el periodo de 30 años sería considerablemente mayor, con $19\% \, / \, \sqrt{30} \approx 4\%.$ Esta reducción de la varianza se cita habitualmente en los trabajos de investigación económica que defienden la reversión media a largo plazo de los rendimientos de los índices de renta variable.

Podríamos intentar solucionar esto, por ejemplo, imponiendo la reversión a la media en los rendimientos mediante modelos de tipo AR o ARMA. Desgraciadamente, la reducción de la varianza deseada sólo puede lograrse eligiendo parámetros que den lugar a niveles de autocorrelación de los rendimientos poco realistas y empíricamente injustificables, por ejemplo, una autocorrelación de -0,5 de los rendimientos en períodos anuales no superpuestos.

El mejor enfoque, creo, es un modelo de cambio de régimen en el que la reversión a la media se desencadena en las burbujas y los choques. La cuestión es qué métrica sería apropiada para definir los regímenes y cuál sería un modelo razonable para incorporar la reversión media condicional.

Se agradecen las sugerencias.

Answer 1

Se podría utilizar el modelo de dos factores de Schwartz-Smith. Es un modelo muy estándar en las materias primas, donde se observa este tipo de reversión media a largo plazo (donde "a largo plazo" es aquí alrededor de un año).

Es un modelo de reversión a la media donde la reversión a la media a largo plazo es en sí misma un proceso browniano. De este modo, se puede tener la estocasticidad deseada a corto plazo, pero una reversión media a largo plazo.

Este es el documento original:

E.S. Schwartz & J.E. Smith (2000), "Short-term variations and long-term dynamics in precios de las materias primas".

Answer 2

Una económico El modelo de hábitos de Campbell y Cochrane (1999). La idea básica es que a medida que el consumo del inversor representativo se aproxima al nivel de consumo (adecuadamente definido) del hábito, la aversión al riesgo del inversor representativo se dispara: esto significa que las tasas de descuento aumentan drásticamente y vemos una gran caída en los precios de las acciones. Los tipos de descuento se recuperan después de este choque y también lo hacen los precios de las acciones.

Si quieres un modelo puramente estadístico puedes ver cómo Lu Zhang (2005,JF) escribe un proceso estadístico para el factor de descuento estocástico que nos da este tipo de proceso de retorno de las acciones.

$$\begin{equation} x_{t+1} = \bar{x}\left(1-\rho_x\right) + \rho_x x_t + \sigma_x\varepsilon_{t+1}^x \end{equation}$$

$$\begin{align*} M_{t+1} = \beta^{\left(\gamma_0 + \gamma_1\left(x_t-\bar{x}\right)\right)\left(x_t-x_{t+1}\right)} \end{align*}$$

Aquí $\gamma_0>0$ y $\gamma_1<0$ (normalmente 50,-1000). Piense en x como el consumo, M es el proceso del factor de descuento (es decir, cuánto descontamos los flujos de caja futuros en el capital), y observe la respuesta asimétrica de la aversión al riesgo a los cambios en el consumo por encima y por debajo de la media.

Esto no está probado, pero puede ayudarte a hacerte una idea.

Answer 3

Aunque estoy de acuerdo con la respuesta de jd8, pueden surgir problemas de aplicación práctica. Aquí sugiero una solución de ingeniería parsimoniosa que se basa en la intuición económica del modelo de hábitos de Campbell y Cochrane (1999).

1 - Supongamos que la media y la desviación estándar varían en el tiempo en la dinámica estándar del GBM.

2 - Utilizar el "drawdown" como variable observable para medir la aversión al riesgo.

3 - Crear una metodología para asignar la reducción a la media y la desviación estándar. Para la simulación que se muestra a continuación he utilizado una técnica basada en reglas calibradas en función del comportamiento histórico del mercado. En pocas palabras, la media y la desviación estándar son proporcionales a la reducción.

4 - Simular el GBM con una media y una desviación estándar variables en el tiempo.

Answer 4

Acabo de escribir dos artículos sobre un tema relacionado. No utilicemos el método del registro en este momento, ya que originalmente era una aproximación de la época en que se utilizaban tarjetas perforadas. Se puede, pero volveremos a hablar de por qué no conviene hacerlo.

Si comenzamos con un modelo simple AR(1) $$x_{t+1}=\beta{x}_t+\varepsilon_{t+1},$$ entonces sabemos que estamos comprando activos con la intención subjetiva de ganar dinero. Que lo hagamos o no es otra cuestión. Por ello, es irracional que $\beta\le{1}$ asintóticamente. Si hubiera un evento local en el que eso existiera, no sería un problema, a menos que más de la mitad de las operaciones fueran realizadas por personas que quisieran perder a propósito. Por teorema, no existe una solución no bayesiana para este problema.

Puede comprobarlo en

White, J.S. (1958) La distribución límite del coeficiente de correlación serial en the Explosive Case. The Annals of Mathematical Statistics, 29, 1188-1197.

Demuestro que existe una solución bayesiana. De hecho, dependiendo de los supuestos, puede haber diferentes soluciones en distintos casos. Sin embargo, en general, esto se mantendrá. Otra cuestión es que el S&P 500 cambia constantemente de composición, por lo que $\beta$ también cambia constantemente con cada reajuste. Puede ser un pequeño cambio en cada paso, pero está cambiando la composición, y por lo tanto esto puede ser un modelo pobre. Técnicamente, esto no es estacionario ya que por definición $\beta$ se actualiza trimestralmente.

La solución bayesiana consiste en resolver utilizando una probabilidad de $$f(\mathbf{X}|\beta;\alpha;\sigma)=\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(x_{t+1}-\beta{x}_t-\alpha)^2},$$ donde $\mathbf{X}$ es la matriz de datos.

Si $\pi(\alpha;\beta;\sigma)$ es su anterior y $\pi'(\alpha;\beta;\sigma|\mathbf{x})$ es su posterior, entonces usted resuelve para la posterior como $$\pi'(\alpha;\beta;\sigma|\mathbf{x})=\frac{\prod_{t=0}^{T-1}f(\mathbf{X}|\beta;\alpha;\sigma)\pi(\alpha;\beta;\sigma)}{\int\int\int\prod_{t=0}^{T-1}f(\mathbf{X}|\beta;\alpha;\sigma)\pi(\alpha;\beta;\sigma)\mathrm{d}\sigma\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\beta}$$

Para el trabajo de predicción, hay una densidad de predicción disponible. Tenga en cuenta que la masa previa en $\beta<1$ es cero y que la masa previa en $\sigma\le{0}$ es cero. Esto mejorará la calidad de su estimación. Hay plazos en los que la MLE es inferior a 1. Como esto es imposible, asintóticamente, el resultado espurio de una muestra inusual se evita mediante la regularización de la previa.

Si denotamos la distribución predictiva para los valores futuros de $\tilde{x}_\tau$ como $\pi''(\tilde{x}_\tau|\mathbf{X})$ entonces podemos resolver una predicción utilizando $$\pi''(\tilde{x}_\tau|\mathbf{X})=\int\int\int{f(\tilde{x}_\tau|\beta;\alpha;\sigma)}\pi'(\alpha;\beta;\sigma|\mathbf{X})\mathrm{d}\sigma\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\beta$$

Si se toma el logaritmo, la media de los logaritmos exagerará la rentabilidad en un 2% anual en los rendimientos desagregados de todas las operaciones anuales del universo CRSP desde 1925 hasta 2013 y subestimará el riesgo en un 4%.

Si se realiza un análisis espectral del S&P, el periodo es de unos 40-41 años. Esto implica que una oscilación del proverbial péndulo requiere 40-41 años de datos y que cualquier otra cantidad generará estimadores de rentabilidad y escala sesgados. El espectro completo de rendimientos en la densidad cubre este periodo.

Los logaritmos exageran la rentabilidad y subestiman el riesgo porque la distribución de las rentabilidades logarítmicas, sin tener en cuenta las quiebras y las fusiones, sigue una distribución secante hiperbólica y la media de los logaritmos resulta ser la mediana de los datos. El centro de la localización, $\mu$ Sin embargo, está en el modo. La limitación de la responsabilidad trunca la distribución y aleja la mediana un 2% de la moda.

No sé lo que hace con los datos de S&P; sólo sé lo que hace con los datos desagregados. Hice una prueba para determinar si los modelos estándar o este modelo eran mejores y los factores de Bayes excluyen la solución estándar.

En este caso, no hay una inversión adecuada del concepto de modo, ya que el capital es una fuente y no un sumidero. No obstante, el documento de Slutzky

Slutzky, Eugen (1937) La suma de causas aleatorias como fuente de procesos cíclicos. Econometrica,5(2), 105-146

implicaría una oscilación en torno al modo Esto se vería como una reversión de la media en el espacio logarítmico.

Curiosamente, no existe un estimador no bayesiano admisible para los rendimientos financieros, en el caso general. Hay algunos casos especiales en los que sí existiría.

Hay dos advertencias importantes para este método que utiliza el S&P 500. La primera se ha mencionado anteriormente, los cambios en la composición implican que no se sabe lo que se está midiendo realmente. Suponer que una simple sustitución no provocaría ningún cambio en la pendiente implicaría que todas las acciones proporcionan el mismo rendimiento. La segunda es que incluso si no hay problemas con la composición, no sabemos si los rendimientos o el parámetro de escala son invariables a escala.

Dos notas menores, mientras que la relación de la desviación estándar con respecto al tiempo para la distribución normal es $\sqrt{t}\sigma$ Es decir, es ${t}\sigma$ con esta distribución; y, existe un caso en el que dicho proceso AR(1) puede comportarse de forma cercana a una normal y es cuando el punto final precios están lejos del equilibrio. En ese caso, se obtiene una distribución extraña que no tiene una media definida, sino que es la combinación convexa de dos densidades, una con media y otra sin ella. A medida que los precios se alejan del equilibrio, la composición porcentual de la que tiene una media se acerca a la unidad.

$\sigma$ es un parámetro de escala y no una desviación estándar. No existe una media para esta densidad. Como resultado, la varianza de la muestra es indefinida y aparece como un número aleatorio. Debería parecer que es heterocedástica con racimos de volatilidad cuando hay corridas. Es askástica. Mientras que los rendimientos no pueden pensarse en términos de varianzas, los precios sí y el $\sigma$ a cambio es una medida de la heteroscedasticidad de los precios.

Por último, no hay error al cuadrado para este tipo de problema. La función de coste adecuada es la función de pérdida absoluta lineal.

Answer 5

Modelización de la volatilidad y valoración de los derivados bajo anclaje Paul Wilmott, Alan L. Lewis, Daniel J. Duffy

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/wilm.10366/pdf

Utilizaría el anclaje de la volatilidad para producir sonrisas locales persistentes y una dinámica sensata y fácil de calibrar