Estoy leyendo los siguientes dos artículos (primero, segundo), que sugieren lo que se llama un "estocástico" colocation "método" para obtener un arbitraje libre de la volatilidad de la superficie, muy cerca de una primera sonrisa, derivados de un sabr. El primer documento se proporciona información básica sobre el método en general, donde el segundo es un buen resumen más aplicados a la situación específica en la que estoy interesado.
Así observamos $\sigma(K_i)$ implícita normal volatilidades (bpsvol) en el mercado para ciertos reltaive huelgas $ATM + x$bps. $x$ puede ser algo así como $25, -50$ etc.
1. Paso: Calibración inicial Sabr Aquí voy a encajar un Sabr el uso de la Hagans papel suponiendo un nomral modelo, es decir, $\beta = 0$. Basado en el original de papel de Hagan $$ \sigma_N(K) = \alpha\frac{\zeta}{\hat{x}{(\zeta)}}\left(1+\frac{2-3\rho^2}{24}\nu^2\tau_{exp}\right)$$ donde $\zeta = \frac{\nu}{\alpha}(f-K)$ y $\hat{x}{(\zeta)}=\log{\left(\frac{\sqrt{1-2\rho\zeta+\zeta^2}-\rho+\zeta}{1-\rho}\right)}$
Este es sencillo y se puede ajustar para obtener dsirable resultados. En lo que sigue suponemos que tal ajuste se realizó con éxito y hemos sido capaces de encontrar una solución $(\alpha,\nu,\rho)$. Como se describe para baja huelgas y logner vencimientos implícita la función de densidad puede ser negativo. En el caso de swaption vemos a tasas bajas y tienen vencimientos largos, así que me gustaría quitar las alas de esta mariposa de arbitraje mediante la técnica descrita en los artículos anteriores.
El resto de los pasos se basan en el segundo papel. La idea en definitiva es el uso de un hoteles de distribución $F_X$, fácil de ejemplo, para la muestra un extenso uno, $F_Y$. El objetivo es encontrar una función $g$ que $$ F_X(x) = F_Y(g(x))$$ y $Y\desbordado{d}=g(X)$. Que susggest utilizar la siguiente aproximación $$y_n \aprox g_N(x_n) = \sum_{i=1}^Ny_i l(x_n)$$ un polinomio de expansión. Nota, $x_i$ y $y_i$ será huelga. Cómo elegimos esta huelga no es importante para mi pregunta.
2. Paso: la Supervivencia de distribución: Como en el papel que nos quieren elegir a $X$ a una distribución normal y $Y$ debe ser la supervivencia de la función de distribución (SDF) desde el sabr modelo, el cual es dado por la ecuación 2.3 en el segundo documento $$G_Y(y)=1-\int_{-\infty}^y f_Y(x)dx = \int^{\infty}_y f_Y(x)dx=-\frac{\partial V_{call}(t,K)}{\partial K}\rvert_{K=y}\etiqueta{1} $$ lo que lleva a la $$y_n \aprox g_N(x) = \sum_{i=1}^NG^{-1}_Y(G_X(\bar{x_i}))l(x)$$
Pregunta: En el papel en el que dicen que uno realmente debe integrar desde $y$ a $\infty$ en $(1)$ y no utilizar la representación $G_Y(y) = 1-F_Y(y)$. ¿Cómo debo integrar esta? ¿Cómo puedo encontrar la densidad de $f_Y$? Tengo para aproximar numéricamente, o debo usar la derivada parcial de la convocatoria de los precios?
Suponiendo que yo era capaz de conseguir este approxmiation $g_N(x)$ en el tercer paso, consiste de una recalibración de los sabr modelo:
La recalibración de Sabr: (sección 3.5 en el segundo documento). Aquí se sugieren para volver a calibrar a datos de mercado utilizando: $$ \min\sum_i(\sigma(K_i)-\sigma_{g_N}(K_i))^2$$
Pregunta ¿Pero cómo es la forma $\sigma_{g_N}$ se ve como dependiendo de $g_N$? Puesto que no menciona la fórmula específica que debe ser algo trivial pregunta, pero no veo la solución.
