¿Cómo elegir una medida neutral al riesgo cuando el mercado es incompleto?

Question

Soy más un probabilista que un matemático financiero. Actualmente estoy trabajando en las características de las opciones de venta americanas bajo un modelo particular de volatilidad estocástica.

Como la mayoría de los modelos de volatilidad estocástica, es incompleto. (De hecho, estaría bien que alguien me dijera un modelo de volatilidad estocástica completo, ¿hay alguno?) En mi tratamiento actual, me he limitado a tratar el modelo como un juguete matemático. He elegido una medida arbitraria de riesgo neutral y trato de decir algo sobre el valor de las opciones. (Por supuesto, las pruebas son válidas en cualquier EMM).

Aunque la pregunta que he hecho aquí no está muy relacionada con lo que estoy haciendo, me gustaría saberlo:

¿Cómo se elige un EMM? ¿Se limita a una subclase de EMM y se da a sí mismo algunos parámetros que intenta ajustar utilizando datos dados?

Answer 1

Un modelo de volatilidad estocástica para un solo activo de riesgo no puede ser completo porque tiene dos fuentes de aleatoriedad. Pero se puede completar fácilmente añadiendo un derivado cuyo valor dependa de la volatilidad. Por ejemplo, si se añade un swap de varianza en el modelo de Heston, éste se completa. Esto permite calibrar el modelo.

Pero tu pregunta es aún más relevante cuando se consideran modelos con saltos (como el proceso discontinuo de Levy) porque los saltos son una "suma" de procesos de Poisson por lo que cada tamaño de salto añade otra fuente de aleatoriedad. Habría que añadir un número infinito de derivados para que el mercado fuera completo, lo cual es absurdo. Desde el punto de vista de los cambios de probabilidad esto se debe a que puedes encontrar probabilidades equivalentes que cambian la deriva pero también la distribución de los saltos.

El enfoque original de Merton es considerar que no se quiere que la distribución de los saltos cambie, por lo que hay una única probabilidad neutral al riesgo que lo hace. El cambio de probabilidad es el mismo que en el modelo Black-Scholes.

Otros enfoques utilizan funciones de utilidad, pero ahora sólo se pregunta qué función de utilidad utilizar. Esto parece peor, ya que te alejas de la filosofía de no arbitraje basada en los supuestos de los mercados y vuelves a modelar la aversión al riesgo de las personas como si fueran máquinas racionales de optimización.

Answer 2

Hay varias formas de elegir un EMM concreto. Creo que el enfoque más popular es utilizar una "distancia" entre $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ . La mayoría de los trabajos utilizan un enfoque de entropía mínima (por ejemplo, Fujiwara y Miyahara , Esche y Schweizer ou Hubalek y Sgarra ) o un enfoque de entropía q relativa (por ejemplo, Jeanblanc, Klöppel y Miyahara )

En las aplicaciones, la transformada de Escher también se utiliza con mucha frecuencia para establecer una relación entre $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ . La transformación es una especie de inclinación exponencial de la medida de probabilidad.

Answer 3

Hum, esa es una de las preguntas más importantes de la ingeniería financiera, por eso no se propone ninguna respuesta.

Si se dispone de datos como los precios de las opciones, se puede calibrar un EMM paramétrico, pero nada puede decir que sea el mejor EMM (porque no existe el mejor EMM).

Así que elige y defiende tu elección diciendo "es simple y permite un resultado hermoso" como todo el mundo suele hacer.