La relación entre el flujo de Ricci y la ecuación Black-Scholes-Merton

Question

Grisha Perelman escribió una vez que

La ecuación de flujo de Ricci, un tipo de ecuación de calor, es una pariente lejano de la ecuación de Black-Scholes que los comerciantes de bonos de todo el mundo utilizan para fijar el precio de las opciones sobre acciones y bonos.

Wilmot ha derivado de la ecuación de BS a la ecuación del calor, pero se pregunta si hay alguna prueba de que se puede obtener la ecuación de BS a partir del flujo de Ricci.

Answer 1

Bueno, esto parece ser un relato popular de estos conceptos, pero en un nivel muy alto la conexión es la siguiente:

El flujo de Ricci "es un proceso que deforma la métrica de una variedad riemanniana de manera formalmente análoga a la difusión del calor, suavizando las irregularidades de la métrica". [Wikipedia]

Ahora bien, la ecuación de Black-Scholes se basa matemáticamente en Movimiento browniano geométrico que describe la difusión de la distribución de probabilidad de las trayectorias de los precios de un subyacente.

[ Fuente ]

La conexión entre Black-Scholes y la difusión queda especialmente clara cuando se echa un vistazo a cómo se resuelve la ecuación diferencial de Black-Scholes transformándola en la ecuación de difusión, véase también esta pregunta y sus respuestas:
Transformación de la ecuación diferencial de Black-Scholes a la ecuación de difusión - y viceversa

Así que ambos, el flujo de Ricci y el Black-Scholes, son (basados en) descripciones matemáticas de modelos de difusión. No creo que haya realmente nada más que esto.

Answer 2

Así que aquí hay un intento abrupto de encontrar conexiones entre ellos. Sé que esto es incompleto y espero que alguien más añade más / edita más en esto:

La ecuación de flujo de Ricci

$$ \frac{dg}{dt} = - 2 Ric(g(t)) $$

Ambos lados son el mismo tipo de objeto: en cada punto $p \in M$ una forma bilineal en $T_pM$ .

En términos de coordenadas locales esto se convierte en

$$ \frac{\partial g_ij}{\partial t}= - 2 R_{ij} $$

(Hamilton, 1982).

La ecuación del calor en 3-D es

$$ \frac{\partial f}{\partial t} = \nabla^2 f $$

Las diferencias básicas son

• el flujo de calor evoluciona una función inicial $f_0 $ hacia una constante función
• El flujo de Ricci hace evolucionar una métrica riemanniana.

Más sobre el Flujo de Ricci por Bennett-chow

Aquí es una intuición similar detrás del flujo de Ricci

ecuaciones de tipo térmico . El tensor de curvatura completo $\operatorname{Rm}$ satisface una ecuación de la forma $\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{Rm}=\Delta\operatorname{Rm}+q(\operatorname{Rm})$ , donde $q$ es un polinomio cuadrático. Como $\operatorname{Rm}$ es una forma simétrica bilineal simétrica en el espacio vectorial $\wedge^{2}T_{x}^{\ast}M$ en cada punto $x$ , tenemos la noción de no negatividad de $\operatorname{Rm}$ . Desde $q(\operatorname{Rm})$ satisface una propiedad suficiente para el máximo principio de los sistemas se aplique, $\operatorname{Rm}\geq0$ se conserva bajo el flujo de Ricci. En general, podemos analizar el comportamiento de $\operatorname{Rm}$ por el principio de máxima bajo varias hipótesis.

Aplicación geométrica . En particular, cuando $n=3$ y $\operatorname{Ric} _{g_{0}}>0$ tenemos $\pi_{1}(M)=0$ y, por tanto, la cobertura universal $\tilde{M}$ es una homotopía $3$ -esfera. Animado por esto, Hamilton demostró que la solución del flujo de Ricci normalizado existe para todo el tiempo y converge a una métrica de curvatura seccional positiva constante; por tanto $M$ es difeomorfo a una forma espacial esférica. La principal estimación gonzo es $\frac{|\operatorname{Ric}% -\frac{R}{3}g|^{2}}{R^{2}}\leq CR^{-\delta}$ para algunos $C$ y $\delta>0$ . Intuitivamente, esperamos $R\rightarrow\infty$ y por lo tanto $\operatorname{Ric} -\frac{R}{3}g\rightarrow0$ .