segundo orden de dominancia estocástica sin la misma media

Question

Deje que $F$ y $G$ ser de dos distribuciones con la misma media. $F$ se dice de segundo orden estocásticamente dominar (SOSD) $G$ si $$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\etiqueta{1}$$ para todos creciente y cóncava $u(\cdot)$.

Esta definición es equivalente a
$$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\etiqueta{2}$$

Me dijeron que el requisito de $F$ y $G$ a tienen la misma media que no es realmente necesario. Supongamos que $F$ y $G$ ¿ no tienen la misma media. Podemos entonces todavía tienen la equivalencia entre $(1)$ y $(2)$?

N. B. I fue capaz de mostrar $(2)\Rightarrow (1)$ sin que el mismo significa la condición, pero no la otra manera alrededor.

Answer 1

Vamos a $u(x) = x$, que es creciente y cóncava. A continuación, la definición de condiciones de SOSD lee

$$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implica E_F(X) \geq E_G(X) \etiqueta{1}$$

..que contradiría el caso $E_F(X) < E_G(X)$, que sería admisible en virtud de un general "de diferentes medios" postulado. Por otro lado, vemos que el mismo "significa" condición puede ser violado por la definición de condiciones para SOSD sí mismo. ¿Qué es lo que nos dicen?

1) Que $E_F(X) \geq E_G(X)$ es una condición necesaria para $F$ a SOSD $G$.

2) ...Y por lo que el requisito de "$F$ y $G$ tienen la misma media" erróneamente restringe la aplicación del concepto de SOSD.