¿Por qué Black-Scholes ecuación mantenga en la continuación de la región de la Opción Americana?

Question

Explicación de la Opción Put:

$$ \frac{\partial V}{\partial t}+ \mathcal{L}_{BS} (V) = 0, $$

donde

$\mathcal{L}_{BS} (V) = \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r-q) S \frac{\partial V}{\partial S} - r V$ tiene para $S > S_f$, donde $S_f$ es el punto de contacto.

¿Por qué esta ecuación presionado para $S > S_f$? Me podrían dar el link para la prueba?

Otra pregunta es: ¿por Qué necesitamos de alta condición de contacto?

Actualización:

Puedo entender correctamente que para los Americanos la Opción Put, si $S > S_{f}$, que no tiene ningún sentido hacer ejercicio en el tiempo $t<T$ (ya que provoca la pérdida inmediata: $-V+S-K<0$). Por lo que se comporta como Opción Europea, por lo tanto $V^{Am}_{P}=V^{E}_{P}$ y que satisface a Black-Scholes Ecuación.

Answer 1

El real problema que resuelve de opciones Estadounidenses, es un óptimo tiempo de parada problema, por lo que el valor de la opción es

$$ V_0 = \max_\tau E_{\tau}\left[e^{-i \tau} (S_\tau-K)^+ \derecho] $$

donde el máximo es tomado todos los tiempos de parada (ejercicio de estrategias de $\tau>0$ permisible en el contrato).

Con un PDE operador, tales como la instantánea de la igualdad puede ser expresada en los lineales de la complementariedad de la forma como

$$ \left(\frac{\partial V}{\partial t}+ \mathcal{L}_{BS} (V)\derecho)\cdot \left(V-g\derecho) = 0 $$

donde $g$ representa ejercicio temprano de valor.

Nota para la conveniencia de que (post ejercicio) de las acciones en sí satisface los BS de la PDE trivialmente.

Answer 2

El pago cuando el ejercicio de la opción está dada por:

$$\max(K-S(t),0)$$

ahora suponga que hay una $V(S,t)<\max(K-S(t),0)$: no iba a ser la oportunidad para el arbitraje. Se podría comprar el activo de $S$ y la opción de venta por $V$. La venta de los activos por $K$ daría lugar a una ganancia libre de riesgo de la $K-S-V$. Por lo tanto el valor de la opción put americana debe mantener la restricción adicional de $$V(S,t)\geq \max(K-S(t),0)$$

Mientras $V > K-S$ (u $S>S_f$) está dada por la BS de la PDE, de lo contrario el precio es determinado por la $K-S$. La mayoría (si no todos) los libros de texto, introducción a los derivados financieros se incluyen más detalles sobre esto y derivaciones de los BS de la PDE.

La segunda (más misterioso) restricción es una consecuencia de la "óptima" de la conducta de los agentes. Palabras clave para encontrar más en lo que podría ser la parada óptima del problema o de la teoría del juego de opciones.