Primero de todo, esa es una tarea de la pregunta, y yo le intente hacerlo tan útil a los futuros lectores como sea posible.
Problema
Así que, me fue dado un problema sobre el modelo descrito por Botond Kőszegi y Matthew Rabin en "Un Modelo de Referencia Dependiente de la Preferencia" en el año 2006:
Una persona se ocupa de dos productos: té ($c_1 \in \{0, 1\}$), y el dinero ($c_2 \en R$). $$ c_1 = \begin{casos}1, \mbox{si se compra un té}\\ 0, \mbox{si no comprar té} \end{casos} $$ Su consumo de utilidad está dada por: $$m(c) = v \times c_1 + c_2$$ Su ganancia-pérdida de utilidad está dada por: $$ n(x | r) = \begin{casos} (x - r), \mbox{si } x \ge r\\ \lambda \times (x - r), \mbox{si } x \lt r \end{casos} $$ El té de costos de $P_H = 30$; también, que los $v = 13, \lambda = 4$.
Hay varias tareas, pero estoy luchando incluso con la primera:
Demostrar que el punto de referencia de $r = (c_1, c_2) = (1, -30)$ con una probabilidad de 1 es su equilibrio personal.
No hay que olvidar que en la ganancia-pérdida de utilidad en el caso de la desviación de las expectativas, la pérdida de la utilidad debe ser considerado - como se ve en el consumo de utilidad.
La confusión 1: ¿Qué hace la segunda frase significa y cómo he de considerar la perdida de utilidad??
Mi intento
Primero de todo, vamos a definir qué es lo que estamos buscando. De acuerdo a la página 1143 de la ponencia:
Una selección $\{F_l \en D_l\}_{l \in I}$ es un personal de equilibrio (PE) si para todo $l \in I$ y $F'_l \en D_l$ $U(F_l | \int F_l dQ(l)) \ge U(F'_l | \int F_l dQ(l))$.
Así, siempre que la probabilidad es 1, puedo deshacerme de las integrales y demostrar que $U(r | r) \ge U(x | r) \forall x \ne r$o, dado que sólo hay dos opciones posibles (¿verdad?), que $U((1, -30) | (1, -30)) \ge U((0, 0) | (1, -30))$.
La confusión 2: ¿de verdad tiene sólo dos opciones y es la segunda opción, $(0, 0)$?
Siguiente, calcular $U(r | r)$. Como por p. 1138 de la misma obra:
Suponemos que la utilidad general tiene dos componentes: $u(c|r) = m(c) + n(c|r)$, donde $m(c)$ es "el consumo de utilidad", típicamente, se destacó en la economía, y $n(c|r)$ es "ganancia-pérdida de utilidad".
$$ U(r | r) = U((1, -30) | (1, -30)) = m(1, -30) + n((1, -30) | (1, -30)) $$
Según la misma página:
También se asume que la ganancia-pérdida de utilidad es separable: $n(c|r) = \sum_{k=1}^K n_k(c_k | r_k)$.
Así que puedo hacer:
$$ m(1, -30) = v \times 1 - 30 = 13 - 30 = -17\\ n((1, -30) | (1, -30)) = n(1 | 1) + n(-30 | -30) = (1 - 1) + (-30 + 30) = 0\\ \mbox{por Lo tanto, } U(r | r) = -17 + 0 = -17 $$
Ahora a por la segunda opción:
$$ U((0, 0) | (1, -30)) = m(0, 0) + n((0, 0) | (1, -30)) = 0 + n(0 | 1) + n(0 | -30) = \lambda \times (0 - 1) + (0 + 30) = 30 - \lambda = 30 - 4 = 26\\ \mbox{por Lo tanto, } U(x | r) = 0 + 26 = 26 $$
La confusión 3: Así que, me puse $U(r | r) \lt U(x | r)$, que es todo lo contrario de lo que tengo que probar...
ACTUALIZACIÓN
Me dijo un compañero que uno debe multiplicar la segunda parte de la ganancia-pérdida de utilidad por $v$ (!) para obtener:
$$ n(x | r) = \begin{casos} (x - r), \mbox{si } x \ge r\\ v \times \lambda \times (x - r), \mbox{si } x \lt r \end{casos} $$
Por lo que el cómputo de $U(x | r)$ I get:
$$ U((0, 0) | (1, -30)) = \lambda \times v \times (0 - 1) + (0 + 30) = -22 $$
...y lo mismo para $U((1, -30) | (1, -30))$.
También dicen que esto es lo que el "no hay que olvidar que en la ganancia-pérdida de utilidad en el caso de la desviación de las expectativas, la pérdida de la utilidad debe ser considerado - como se ve en el consumo de utilidad." parte de la tarea que me dice que hacer. Por desgracia, todavía no tengo idea de lo que esta parte significa o por qué tendría que multiplicar sólo la segunda parte de la función de exactamente $v$. Quiero decir, ¿por qué usted acaba de cambiar la función de la nada?
Pregunta
Donde estoy equivocado? Y ¿por qué tengo que multiplicar por $v$, y no puedo realmente necesita para hacer esto?
