¿Por qué el precio de un derivado no dependen de la derivada con el que de cobertura del riesgo de volatilidad?

Question

Estoy tratando de obtener la valoración de la ecuación en el marco de volatilidad estocástica del modelo. Lo que uno puede leer en la literatura es la siguiente razonamiento:

Se considera una réplica del auto-financiamiento de la cartera de $V$ con $\delta$ subyacente y $\delta_1$ unidades de otro derivado de $V_1$. Uno escribe Ito por un lado, y la auto-financiación de la ecuación en el otro lado, y entonces uno se identifica los términos en frente de los dos Browniano en los movimientos y en frente de $dt$.

Las dos primeras identificaciones dar $\delta$ y $\delta_1$, y el último de identificación nos da un PDE en $V$ y $V_1$. Entonces lo que comúnmente se hace es escribir con una mano izquierda dependiendo de $V$ solo, y la mano derecha de un lado dependiendo de $V_1$ solamente. Así que $f(V) = f(V_1)$. Podríamos haber escogido $V_2$ en vez de $V_1$ por lo que uno recibe $f(V) = f(V_1) = f(V_2)$. Por lo tanto $f(W)$ no depende de la derivada $W$ uno elige, y se llama el precio de mercado del riesgo de volatilidad.

Lo que no puedo entender en este razonamiento es la razón por $V$ no depende de la derivada $V_1$ que usted elija para cubrir el riesgo de volatilidad en su cartera. Tal y como yo lo veo, uno debe escribir $V(V_1)$ en vez de $V$. Entonces uno tiene $f(V(V_1)) = f(V_1)$ y $f(V(V_2)) = f(V_2)$ de modo que uno no llega único precio de mercado del riesgo de volatilidad.

¿Alguien sabe por qué el precio de un derivado no depende de la derivada que usted elija para cubrir el riesgo de volatilidad?

Answer 1

Considere la siguiente analogía: puede cubrir un derivado en el determinismo de la volatilidad modelo de uso de cualquiera de los futuros, o el terreno subyacente. El hedge ratio de cambio, pero todas las matemáticas para eliminar de manera efectiva estocástico de la cartera de PL es el mismo, y debe ser equivalente.

Una situación similar se aplica aquí: cualquier triángulo de (no trivial) los valores derivados puede ser demostrado tener un conjunto equivalente de cobertura ratios de dos cualesquiera de ellos (se supone observable, líquido, etc) para formar un precio de la tercera. Básicamente, el ratio de cobertura por $V_2$ en $V_1$ es perfectamente simétrica a la de $V_1$ en $V_2$.

Answer 2

Esta es una muy buena pregunta. El culpable es en el horrible matemáticamente confuso derivación de estas ecuaciones, específicamente la confusión en el concepto de función. $V$ y $V_1$ son $R^4\rightarrow R$ funciones de $(t,T,S,\sigma)$ y $(t,T_1,S,\sigma)$ es decir, (hora actual, la fecha de expiración, underlying_1, unerlying_2), respectivamente, y que sólo difieren en $T$ y $T_1$. Ahora su $f$ NO es un $R^m\rightarrow R^n$ funcionar en absoluto, sino una función de la $R^m\rightarrow R^n$ la función de fijar en $R^m\rightarrow R^n$ conjunto de funciones. Por lo que la dependencia es diferente de la dependencia que usted y el autor tiene en mente. Pero la introducción de esta función es irrelevante e inútil. El punto real es que el PDE ecuación puede ser colocado de manera que la parte izquierda de la ecuación es una $R^4\rightarrow R$ la función dependiendo de $(t,T,S,\sigma)$, mientras que la derecha en $(t,T_1,S,\sigma)$ arbitrarias $T$ y $T_1$. Así, de cada lado, no puede depender de la variable $T$ y que se llama el precio de mercado del riesgo.

Eso es todo. No es necesario para la discusión de la dependencia en el precio de la opción $V$, que es en sí misma una función $R^4\rightarrow R$ función.

Answer 3

buen punto. Una manera de ver las cosas, creo yo, es que solo tienen dos Browniano movimientos, por lo que en un sentido que su espacio está a sólo 2 dimensiones. Por lo tanto, mientras $V$ y $V_1$ no son "linealmente dependiente", tienes que abarca el espacio, y ya está, y realmente no importa lo que $V_1$ usted está eligiendo.

Ahora, esto es, por supuesto, una muy mano saludando argumento, en particular, como el movimiento Browniano es tan "raro" (piense en esto: usted podría tomar la 1ª, 3ª, 5ª, etc. dígito de un movimiento Browniano, y el 2º, 4º, 6º dígito etc de ese mismo movimiento Browniano, y tendrías dos procesos que son, bueno, complicado, y bien podría ser independiente (no está seguro de cómo sean Browniano aunque?)).

En tu ejemplo, como @Brian B resaltado, es concebible que el precio de la cubierta con $V_1$ y el precio cubiertos con $V_2$ son diferentes, pero luego hay una oportunidad de arbitraje allí. Si $V, V_1, V_2$ son impulsados por sólo dos Browniano movimientos, entonces, usted puede construir una cartera que habría instantánea positivo exceso de retorno (probarlo).