¿Un proceso estacionario necesariamente es de reversión a la media?

Question

Intuitivamente, un proceso estocástico estacionario debe ser de reversión a la media. Esto debería seguir inmediatamente de la definición de estacionariedad: la media del proceso debe ser constante a lo largo del tiempo, por lo que cuando el proceso se desvía de la media, debería volver a ella tarde o temprano.

¿Es correcto este razonamiento? ¿Cómo se puede demostrar formalmente?

Answer 1

El concepto de 'reversión a la media' es complicado en tiempo continuo. La mayoría de la gente llamaría 'revertir a la media' a un proceso en el que la deriva se aleja hacia una media a largo plazo, y asumo que esto es lo que también quieres decir. Algo como la deriva de un proceso OU.

Sin embargo, en tiempo continuo, la 'atracción' puede ser generada por la volatilidad. Por ejemplo, el proceso $$ dX_t = dt+X_t^2 dW_t $$ es estacionario aunque la deriva parece estar empujando los caminos hacia el infinito. El primer lugar donde vi ese comportamiento fue el artículo de Conley et al de 1997 (fondo de la página 12).

En estos procesos, la 'atracción' es causada por la volatilidad, y en este ejemplo es suficiente para superar la deriva. Para procesos generales $X_t = \mu(X_t)+\sigma(X_t)dW_t$ esta 'atracción' está cuantificada por la densidad de escala $$s(x)=\exp\left(-\int^x \frac{\mu(u)}{\sigma^2(u)}du\right)$$

No creo que estas cosas sucedan para procesos en tiempo discreto.

Answer 2

Consideremos el siguiente ejemplo: el proceso se inicializa aleatoriamente con $\pm1$ y luego se queda allí para siempre. Me parece estacionario, pero nunca cruzaría su promedio.

Answer 3

Supongamos que estimamos el modelo de regresión

$$\triangle y_{t}=\alpha + \beta y_{t-1}+\varepsilon_{t}$$

Esto es en realidad bastante similar a la prueba de Dickey-Fuller. Si $\beta=0$, entonces el proceso tiene una raíz unitaria. Procedamos asumiendo que $\beta<0$, es decir, que el proceso es estacionario.

La primera ecuación también es similar al proceso de Ornstein-Uhlenbeck en tiempo continuo

$$dy_{t}=k\left(m-y_{t}\right)+\sigma dW_{t}$$

donde el nivel de reversion a la media es $m$ y la velocidad con la que revierte a la media es $k$.

Para la primera ecuación, se puede demostrar que

$$m=-\frac{\alpha}{\beta}$$

Mientras $\beta\neq 0$, que ya asumimos, sabemos que tiene un nivel de reversion a la media que corresponde al proceso de Ornstein-Uhlenbeck.

Answer 4

La respuesta es no, porque aunque un proceso de reversión a la media necesariamente tiene que ser estacionario, no es cierto lo contrario, es decir, que un proceso estacionario tiene que ser de reversión a la media, como afirmaste en la pregunta.

Mira este artículo para una definición formal de un proceso de reversión a la media.

Ahora, piensa en uno de los procesos de reversión a la media más famosos: el Ornstein–Uhlenbeck; las suposiciones subyacentes en dicho proceso son las siguientes:

• Estacionariedad;
• Normalidad;
• Markovianidad;

La estacionariedad es una suposición necesaria para que dicho proceso sea de reversión a la media, pero no es cierto lo contrario. La suposición de proceso de reversión a la media no es una condición necesaria para que un proceso sea estacionario.

Para referencia, mira los libros que cité para tener una idea de la aplicación de dichos conceptos en finanzas; puedes encontrarlos en línea de forma gratuita en formato PDF. Dado que este es un sitio de finanzas cuantitativas, supongo que la pregunta se refiere indirectamente a una estrategia de pair-trading, por lo que creo que es importante sugerirte que leas:

Chan, Ernest P. "Quantitative Trading." New Jersey (2008).

En particular, lee el párrafo sobre la condición de estacionariedad y cointegración (cap. 7). Allí, el autor sugiere:

[]. Puedes encontrar un par de acciones de tal manera que si compras una y vendes la otra, el valor de mercado del par es estacionario. Si este es el caso, entonces se dice que las dos series temporales individuales están cointegradas. Se describen así porque una combinación lineal de ellas es integrada de orden cero. []

Nuevamente, no es cierto que un proceso estacionario implique necesariamente que las series temporales que componen el proceso estén cointegradas, pero es cierto lo contrario; es decir, si 2 series temporales están cointegradas, necesariamente su combinación lineal (en las proporciones correctas) es un proceso estacionario.

Dicho eso, en términos de finanzas cuantitativas, no es necesario que los 2 procesos que estás considerando sean estacionarios, pero es necesario que su valor de mercado sea estacionario; en ese caso, el proceso resultante de la combinación lineal de esas dos series temporales es un buen candidato para una estrategia de pair-trading.

Además, para una prueba formal, mira:

Alexander, Carol. Market models: a guide to financial data analysis. John Wiley & Sons, 2001.

Proporciona una prueba formal de lo que escribí anteriormente y responde exactamente a tu pregunta.