Optimización dinámica: ¿Qué pasa si la condición de segundo orden no se cumple?

Question

Consideremos el siguiente problema de optimización dinámica \begin {align} & \max_u \int ^T_0{F(x,u)dt} \\ \text {s.t.}~& \dot {x} = f(x,u) \end {align}

FOCs

El hamiltoniano viene dado por \begin {align} H(x,u, \lambda ) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end {align} Las condiciones necesarias para la optimización vienen dadas por el principio de máxima \begin {align} \frac { \partial H}{ \partial u} &= 0 \\ [2mm] \frac { \partial H}{ \partial x} &= - \dot { \lambda } \end {align}

Supongamos que $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ es un maximizador, es decir $H_{uu} < 0$ .

SOC

El Teorema Suficiente de Arrow afirma que las condiciones necesarias son suficientes si el Hamiltoniano maximizado \begin {align} H^0(x, \lambda ) = \max_u H(x,u, \lambda ) \end {align} es cóncavo en $x$ es decir, si $H_{xx} < 0$ .

Problema

Supongamos que los FOCs se mantienen, pero el SOC no se mantiene.

• ¿Qué se puede decir de la optimización de la solución?

Answer 1

No hay una respuesta única, dependerá de las particularidades de cada problema. Veamos un ejemplo estándar.

Consideremos el problema de optimización intertemporal de referencia para el modelo de Ramsey

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

El hamiltoniano de valor actual es

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Maximizar sobre $c$ solo tenemos

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

y la condición de 2º orden se cumplirá si la función de utilidad es cóncava, $$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Además, a partir de la condición de primer orden con respecto al consumo, $\lambda >0$ si se mantiene la no sedimentación local. Supongamos que tenemos esas preferencias "habituales".

El hamiltoniano maximizado sobre el consumo es

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

Las derivadas parciales con respecto a la variable de estado, $k$ son

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

En este caso, la condición de suficiencia de Arrow-Kurz se reduce a si el producto marginal del capital es decreciente, constante o creciente (lo que dependerá del signo de la segunda derivada de la función de producción). En el caso estándar $f''(k) < 0$ y tenemos la condición suficiente.

En el caso más famoso de desviación, el de Romer $AK$ modelo que inició la literatura sobre el crecimiento endógeno, $f''(k) =0$ y el producto marginal del capital es una constante positiva.

¿Qué podemos decir en este caso?

Aquí, Seierstad, A., y Sydsaeter, K. (1977). Sufficient conditions in optimal control theory. International Economic Review, 367-391. proporcionan varios resultados que pueden ayudarnos.

En particular, demuestran que si el hamiltoniano es conjuntamente cóncavo en $c$ y $k$ es una condición suficiente para un máximo. El hessiano del hamiltoniano es

(podemos ignorar el término de descuento)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

En el caso estándar con $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ se trata de una matriz definida negativa, por lo que el hamiltoniano es conjuntamente cóncavo en $c$ y $k$ .

Cuando $f''(k) =0$ Si la matriz es semidefinida negativa, es fácil comprobarlo con la definición. Consideremos un vector $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$ y el producto

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

esta desigualdad débil se mantiene $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ por lo que el hessiano es conjuntamente cóncavo en $c$ y $k$ .

Así que en el $AK$ de crecimiento endógeno, la solución es efectivamente un máximo (sujeto a las restricciones de los parámetros necesarios para que el problema esté bien definido, por supuesto).