¿Qué acumulación de capital es correcta? $K_t = (1- \delta )K_{t-1} +I_t$ o $K_t = (1- \delta )K_{t-1}+I_{t-1}$ ?

Question

En muchos modelos con capital, encuentro diferentes variantes de la fórmula de acumulación de capital de la siguiente manera: $K_t = (1- \delta )K_{t-1} +I_t$ o

$K_t = (1- \delta )K_{t-1}+I_{t-1}$

¿Cuál es la fórmula más económica?

Answer 1

Ambos son económicamente sólidos. La notación es sólo una cuestión de convención. La razón detrás de la ambigüedad es que el capital es una acción y la inversión es una variable de flujo. Estás viendo el capital en dos instantes diferentes. La inversión ocurre durante el tiempo entre los dos instantes y su índice es o bien el instante inicial o el final.

Answer 2

Esto es un poco más complicado de lo que parece. Las dos son diferentes pero equivalentes convenciones notacionales, sólo si está claro que incorporan el mismo supuesto de esencia (que rara vez se afirma explícitamente hoy en día), es decir, que sólo se necesita un período para que la inversión se convierta en parte del capital y sea así productiva.

Bajo este supuesto la diferencia notacional viene de lo que es el significado que asignamos al índice para el estado variable, el capital.

Algunos modelos designan $K_t$ para significar "Capital social". al principio de período $t$ . En tal caso, por ejemplo, la función de producción para el período $t$ debería incluir $K_t$ . En cuanto a la ley de movimiento del capital, ya que la inversión ocurre durante período $t$ y aumenta el capital que estaba allí al principio del período, aquí la ley de movimiento se suele escribir, para mayor claridad,

$$K_{t+1} = (1- \delta ) K_t + I_t$$ y retrasándolo, obtenemos $K_t = (1- \delta )K_{t-1}+I_{t-1}$

Otros designan $K_t$ para significar "Capital social". al final de período $t$ . Con la misma lógica que antes, la función de producción para el período $t$ debería incluir $K_{t-1}$ y la ley de movimiento de la capital debe ser escrita

$$K_{t} = (1- \delta )K_{t-1} + I_t$$

Pero supongamos que quiero crear un modelo en el que la inversión tarda dos períodos en formar parte del capital (es decir, en ser productiva), y también quiero utilizar la segunda convención notacional de lo anterior. Tendré que escribir la ley de movimiento del capital como $$K_{t} = (1- \delta )K_{t-1} + I_{t-1}$$ que se ve exactamente como "capital al principio del período más inversión productiva en un período", pero por el contrario (totalmente), aquí se entiende que se traduce como "capital social al final del período $t$ (y por lo tanto disponible para su producción en el período $t+1$ ), es decir productivamente aumentada por las inversiones realizadas durante el período $t-1$ ".

Tal vez sería mejor entonces usar la primera convención notacional y escribir

$$K_{t+1} = (1- \delta ) K_t + I_{t-1}$$

Pero en general hay que leer cuidadosamente las suposiciones y las convenciones de anotación del modelo.

Answer 3

Ambos pueden ser correctos, dependiendo del momento de tres eventos: producción, inversión y depreciación.

• $K_t = (1- \delta )K_{t-1} +I_t$

Esto correspondería a un modelo en el que la depreciación tiene lugar a finales de ayer, la inversión a principios de hoy y la producción a mediados de hoy.

• $K_t = (1- \delta )K_{t-1}+I_{t-1}$

Esto correspondería a un modelo en el que la depreciación y luego la inversión tienen lugar a finales de ayer, y la producción a principios de hoy.