Estoy teniendo problemas con el cálculo del CVA de un contrato forward. La pregunta que se presenta a continuación
Pregunta:
Existe un largo hacia delante de la posición subyacente en oro con 2 años restantes. La entidad sólo puede defecto al final de los años 1 o 2. Las probabilidades de incumplimiento de estos puntos en el tiempo es de 1% y 4% respectivamente. Una tasa de recuperación del 40%, se asume una tasa libre de riesgo del 2%
El contrato a término fue introducido en $1,400 y 2 años de oro de avanzar en la actualidad tiene un reenvía precio de 1,445 con la volatilidad esperada del 19%. Calcular el CVA de este contrato.
Respuesta:
Exposiciones en $t=1$ y $t=2$ son \$125.23 y \$167.01, respectivamente, con un total de CVA de $4.760.
Mi Intento:
El general de la intuición es primero calcular la exposición (potencial de pérdida para el inversor debido al riesgo de contraparte) a veces $t=1$ y $t=2$. Vamos a dejar
- $v_{t}$ es el valor de la exposición en el tiempo $t$.
- $c(T,K)$ es el valor de una opción call Europea subyacente sobre el precio a plazo de maduración en el tiempo $T$, con precio de ejercicio de $K$.
Ahora, la primera exposición se produce en $t=1$, que es de hecho relacionado con el valor de los delanteros del contrato. Además, el delantero se supone que para ser resuelta en la madurez. Así, la exposición de el contrato en $t=1$ es
$$\begin{align} v_{1} =& \mathrm{max}((F_{1}-1400)e^{-2\%\cdot1},0) \\ =& e^{-2\%\cdot 1} \mathrm{max}(F_{1}-1400,0) \\ =& e^{-2\%\cdot 1} c(1,1400) \end{align}$$
Es decir, la exposición en el tiempo $t=1$ es $e^{-2\%\cdot 1}$ veces una opción call Europea con vencimiento en $1$ por año y el precio de ejercicio de $1,400$. El Black-Scholes Merton valoración de este es \$129.04. La exposición es, por tanto,
$$v_{1} = e^{-2\%\cdot 1}\times\$129.04. $$ $$v_{1} = \$126.48 $$
Una construcción similar puede ser hecha por la exposición a $t=2$. Que es
$$\begin{align} v_{2} =& \mathrm{max}(F_{2}-1400,0) \\ =& c(2,1400) \end{align}$$
I. e. Opción call europea con vencimiento en $2$ años y el precio de ejercicio de $1,400$. La llamada tiene un precio de \$168.69 y es la exposición a $t=2$.
Dado que la tasa de recuperación es de 40%, la tasa de pérdida es del 60%. Así esperamos a perder
$$\begin{align} \mathrm{Pérdida}(v_{1}) =& 60\%\times126.48 = \$75.89 \\ \mathrm{Pérdida}(v_{2}) =& 60\%\times168.69 = \$101.21 \\ \end{align}$$
Finalmente, consideramos que las probabilidades en cada año y llegar a la CVA. Es decir,
$$\begin{align} \mathrm{CVA} =& 1\%\times75.89 + 4\%\times101.21 \\ \mathrm{CVA} =& 4.81 \\ \end{align}$$
En conclusión, mis respuestas son
- $v_{1} = 126.49$
- $v_{2} = 168.69$
- CVA = 4.81
Esto difiere de la revelada respuestas de
Exposiciones en $t=1$ y $t=2$ son \$125.23 y \$167.01, respectivamente, con un total de CVA de $4.760.
No estoy seguro de si el revelado de las respuestas son correctas. Sin embargo, si alguien puede ir a través de mi trabajo y de lugar a un error o una explicación, sería muy apreciado
De apoyo: Gestión de los Riesgos y las Instituciones Financieras 4ed. John C. Hull, P. g. 440 muestra un ejemplo similar.
