¿Cuándo se puede hablar con seguridad de utilidad marginal decreciente?

Question

Una cosa que oigo mucho es hablar de la utilidad marginal decreciente: la idea es que las unidades adicionales de un bien se vuelven progresivamente menos atractivas cuantas más unidades de ese bien se tengan ya.

Sin embargo, esto siempre me ha incomodado un poco debido a la ordinalidad de la utilidad. Si tomamos el caso trivial de un mundo en el que sólo hay un bien con utilidad $u(x)$ satisfaciendo $u'(x),\ u''(x)<0$ (utilidad marginal decreciente) entonces es claramente posible construir una función creciente $f$ tal que $(f\circ u)$ es lineal en $x$ . Además, dado que las funciones de utilidad son invariantes a transformaciones monotono-incrementales, $(f\circ u)$ es una función de utilidad que representa las mismas preferencias que $u$ (pero ahora tiene una utilidad marginal constante). Así, en un mundo con un único bien parece que nunca tiene sentido hablar de utilidad marginal decreciente.

Mi pregunta es la siguiente: consideremos un mercado con $L>1$ bienes. ¿Existe una condición formal bajo la cual podamos hablar con seguridad de utilidad marginal decreciente? Es decir, ¿existe una clase de preferencias tal que cada representación de utilidad válida, $u(\mathbf{x})$ tiene $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ para algunos $i$ ?

Alternativamente, ¿existe alguna prueba sencilla de que, para $L>1$ la existencia de una representación de utilidad con $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ para algunos $i$ implica necesariamente que todas las representaciones de utilidad tienen $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ ?

Answer 1

El concepto de "utilidad marginal" (y, por tanto, de decreciente) sólo tiene sentido en el contexto de cardinal utilidad.

Supongamos que tenemos un índice de utilidad ordinal $u()$ en un único bien, y tres cantidades de este bien, $q_1<q_2<q_3$ con $q_2-q_1 = q_3-q_2$ .
Las preferencias se comportan bien y satisfacen las condiciones de regularidad de referencia, por lo que

$$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$$

Esto es ordinal utilidad. Sólo la clasificación es significativa, no las distancias. Así que las distancias $u(q_2) - u(q_1)$ y $u(q_3) - u(q_2)$ no tienen una interpretación conductual/económica . Si no lo hacen, tampoco los ratios

$$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$$

Pero los límites de estos cocientes a medida que el denominador se hace cero serían la definición de la derivada de la función $u()$ . Así pues, la derivada carece de interpretación económica o conductual, por lo que comparar dos instancias de la función derivada no produciría ningún contenido significativo.

Por supuesto, esto no significa que las derivadas de $u()$ no existen como conceptos matemáticos. Pueden existir, si $u()$ satisface las condiciones necesarias para la diferenciabilidad. Por lo tanto, se puede plantear la pregunta puramente matemática "bajo qué condición la función que representa la utilidad ordinal tiene segunda derivada estrictamente negativa " (o hessiano definido negativo para el caso multivariante), tratando de no interpretarlo como "utilidad marginal decreciente" con contenido económico/conductual, sino sólo como una propiedad matemática que puede desempeñar algún papel en el modelo que examina.

En tal caso, sabemos que:
1) Si las preferencias son convexas, el índice de utilidad es una función casi cóncava
2) Si las preferencias son estrictamente convexas, el índice de utilidad es estrictamente cuasicóncavo

Pero la cuasiconcavidad es una otro tipo de propiedad que la concavidad: la cuasiconcavidad es una propiedad "ordinal" en el sentido de que se conserva bajo una transformación creciente de la función.

Por otro lado, La concavidad es una propiedad "cardinal", en el sentido de que no se conserva necesariamente bajo una transformación creciente.
Consideremos lo que esto implica: supongamos que encontramos una caracterización de las preferencias tal que pueden representarse mediante a índice de utilidad que es una función cóncava. Entonces podemos encontrar e implementar alguna transformación creciente de este índice de utilidad, que elimine la propiedad de concavidad.

Answer 2

El hecho de que pregunte por la "seguridad" implica que cree que algún resultado está en peligro. Esta respuesta puede mejorar si puede especificar un resultado que tenga en mente. Si no, tome como ejemplo el primer y el segundo teorema del bienestar. No se basan en la utilidad marginal decreciente.

Si le preocupan los resultados sobre las preferencias ante la incertidumbre (ideas sobre la aversión al riesgo, etc.), recuerde que aunque una representación estándar de la función de utilidad de las preferencias sin incertidumbre es única hasta una transformación monotónica positiva, una representación de la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern de las preferencias ante la incertidumbre es única sólo hasta una transformación monotónica positiva. afín transformaciones.

EDIT: Notas extra.

La definición de función de utilidad es la siguiente (a partir de Teoría microeconómica avanzada de Jehle y Reny, 2011):