Supongamos que estamos felices con la simulación de $n$ acciones como el movimiento Browniano geométrico (GBM). Pero dicen también queremos que los precios están correlacionadas.
Cuando busqué por los alrededores de cómo construir correlaciona caminos, la típica estrategia para generar rutas de movimiento Browniano con especificada correlaciones y, a continuación, utilizar esos caminos para la construcción de GBM.
Sin embargo, mis cálculos (y simulaciones) muestran que la correlación de la GBM no es la misma que la correlación de la base del movimiento Browniano, y el GBM correlaciones ir a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. Esto no tiene mucho sentido para mí a partir de una modelización de la perspectiva.
Así que en resumen, es razonable utilizar correlaciona el movimiento Browniano para la construcción de GBM, o tendría más sentido en términos de modelado de alguna manera construir GBM de caminos con una constante y se especifica el coeficiente de correlación?
O acabo de lío con el análisis?
Por favor, hágamelo saber si algo no está claro. Gracias.
EDITAR: Entiendo cómo crear correlaciona rutas de movimiento Browniano, en concreto utilizando la descomposición de Cholesky. Aquí es lo que yo sé:
Decir $\Sigma$ es una matriz de correlación, y $LL^T$ es su descomposición de Cholesky. Deje que $B(t)$ ser $d$-dimensional movimiento Browniano. Entonces $L B(t)$ también $d$-dimensional movimiento Browniano, y Corr$(B_i(t),B_j(t)) = \rho_{ij}$, donde $\rho_{ij}$ es el $(i,j)$ elemento de la matriz de correlación $\Sigma$.
Deja $$X_i(t) = \mu_iX_i(t)dt + \sigma_i X_i(t)[LB(t)]_i$$ donde $[LB(t)]_i$ es el $i^\text{th}$ elemento de $LB(t)$. Ya sabemos que $[LB(t)]_i$ es el movimiento Browniano, sabemos que $X_i(t)$ es el movimiento Browniano geométrico.
Este es el problema: Veamos Corr$(X_i(t),X_j(t))$. Podemos utilizar el resultado aquí para obtener Cov$(X_i(t),X_j(t))$. Se dice que $$\text{Cov}(X_i(t),X_j(t)) = X_i(0)X_j(0)e^{(\mu_1+\mu_2)t}\left(e^{\rho_{ij} \sigma_i\sigma_j}-1\right)$$
Para obtener la correlación de la GBM rutas de acceso, utilice el anterior hecho y que $$\text{Var}(X_i(t))=X_i(0)^2 e^{2\mu_i t}\left(e^{\sigma_i^2 t}-1\right)$$
Así tenemos $$\text{Corr}(X_i(t),X_j(t)) = \frac{e^{\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j t}-1}{\sqrt{\left(e^{\sigma_i^2t}-1\derecho)\left(e^{\sigma_j^2t}-1\derecho)}}$$
Entonces (estoy bastante seguro de que esto siempre es cierto) $$\lim_{t\to\infty}\text{Corr}(X_i(t),X_j(t)) = \begin{casos} 1, i=j\\ 0, i\neq j \end{casos} $$
Al menos para mí, esto no es lo que queremos. Preferimos la correlación de ser constante.
Vamos en lugar de tratar de obtener correlaciona GBM mediante el uso de $$L X_t$$ donde $X_t$ es $d$-dimensional GBM, y la 1D componentes son independientes. No hay problema aquí es que no creo que $L X_t$ es el GBM. En otras palabras, la suma de independiente GBM no es GBM. Podríamos tratar de tomar el producto de la correlación de GBM, pero no he ido por ese camino todavía. Y antes de hacerlo, quería publicar esta pregunta.
