¿Cuál es el ajuste de convexidad correcto para un swap de tipos de interés con un reajuste no natural?

Question

Estoy estudiando la valoración de una permuta de tipos de interés (IRS a partir de ahora) que es prácticamente vainilla con un pequeño retoque. La pata flotante paga 3 meses de LIBOR en intervalos mensuales. Para ser precisos: la pata flotante se reajusta cada mes, y el LIBOR 3M vigente en la fecha de reajuste se paga al final del intervalo mensual. El pago, por supuesto, se escala a un período de 1 mes (multiplicado por la fracción de año equivalente a este período mensual). Creo que debería utilizar el ajuste de convexidad de forma similar al caso del IRS aplazado (pero el ajuste será diferente esta vez). ¿Puede alguien orientarme sobre el ajuste de convexidad adecuado para este caso?

Vencimiento: 5 años. Parte flotante: pagos mensuales basados en el LIBOR 3M vigente en la fecha de reajuste (las fechas de reajuste se producen mensualmente 2 días hábiles antes del comienzo de cada período de cupón mensual). Componente fijo: pagos fijos anuales.

El caso más cercano que he encontrado fue en el gran libro de Brigo y Mercurio "Interest Rate Models - Theory and Practice" 13.8.5 página 566 "Forward Rates Resettung Unnaturally and Average-Rate Swap". Sin embargo Brigo y Mercurio discuten el contrato que paga después de la fecha de pago natural (y en mi caso es antes de la fecha de pago natural).

Answer 1

Considere una secuencia de fechas \begin{align*} 0 \leq t_0 \leq T_s < T_p < T_e, \end{align*} donde $t_0$ es la fecha de valoración, $T_s$ es la fecha de inicio del Libor, $T_p$ es la fecha de pago, y $T_e$ es la fecha de finalización del Libor. Sea $\Delta_s^e = T_e-T_s$ . Para $0\le t \le T_s$ , defina \begin{align*} L(t, T_s, T_e) = \frac{1}{\Delta_s^e}\bigg(\frac{P(t, T_s)}{P(t, T_e)}-1 \bigg), \end{align*} donde $P(t, \mu)$ es el precio en el momento $t$ de un bono de cupón cero con vencimiento $\mu$ y el valor nominal de la unidad.

Dejemos que $Q^{T_e}$ denotan el $T_e$ -medida de avance y $E^{T_e}$ denotan el operador de expectativa correspondiente. Además, dejemos que $Q^{T_p}$ denotan el $T_p$ -medida de avance y $E^{T_p}$ denotan el operador de expectativa correspondiente. Buscamos calcular el valor definido por \begin{align*} P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big). \end{align*} Tenga en cuenta que, para $0 \le t \le T_p$ , \begin{align*} \eta_t \equiv \frac{dQ^{T_p}}{dQ^{T_e}}\big|_{t} = \frac{P(t, T_p)P(0, T_e)}{P(0, T_p)P(t, T_e)}. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big) \\ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{\eta_{T_p}}{\eta_{t_0}}L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{P(t_0, T_e)}{P(t_0, T_p)P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\frac{1}{P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_p, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_s, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big),\tag{1} \end{align*} donde $\Delta_p^e = T_e-T_p$ .

Suponemos que bajo la $T_e$ -medida anticipada $Q^{T_e}$ , \begin{align*} dL(t, T_s, T_e) &= \sigma_s L(t, T_s, T_e) d W_t^s,\\ dL(t, T_p, T_e) &= \sigma_p L(t, T_p, T_e)d\Big(\rho W_t^s + \sqrt{1-\rho^2}W_t^p\Big), \end{align*} donde $\sigma_s$ , $\sigma_p$ y $\rho$ son algunas constantes, y $\{W_t^s, 0 \le t \le T_s\}$ y $\{W_t^p, 0 \le t \le T_s\}$ son dos movimientos brownianos estándar independientes. Entonces, \begin{align*} &\ L(T_s, T_p, T_e) L(T_s, T_s, T_e) \\ =&\ L(t_0, T_p, T_e) L(t_0, T_s, T_e) e^{-\frac{\sigma_s^2}{2}(T_s-t_0) -\frac{\sigma_p^2}{2}(T_s-t_0) + \sigma_s\big(W_{T_s}^s -W_{t_0}^s\big) + \sigma_p\Big(\rho \big(W_{T_s}^s - W_{t_0}^s\big) + \sqrt{1-\rho^2}\big(W_{T_s}^p - W_{t_0}^p\big)\Big)}. \end{align*} Además, \begin{align*} E^{T_e}\big(L(T_s, T_p, T_e) L(T_s, T_s, T_e) \big) = L(t_0, T_p, T_e) L(t_0, T_s, T_e)e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}. \end{align*} Desde $(1)$ arriba, \begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big) \\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_s, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)\left(L(t_0, T_s, T_e) + \Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e) L(t_0, T_s, T_e)e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}\right)\\ =&\ P(t_0, T_e)L(t_0, T_s, T_e)\left(1 + \Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e) e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}\right)\\ =&\ P(t_0, T_p)L(t_0, T_s, T_e)\frac{1 + \Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e) e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}}{1+\Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e)}\\ =&\ P(t_0, T_p)\left[L(t_0, T_s, T_e) + \frac{\Delta_p^eL(t_0, T_s, T_e)L(t_0, T_p, T_e)\left(e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}-1 \right)}{1+\Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e)}\right]. \end{align*} Aquí, el término \begin{align*} \frac{\Delta_p^eL(t_0, T_s, T_e)L(t_0, T_p, T_e)\left(e^{\rho \sigma_s\sigma_p (T_s-t_0)}-1 \right)}{1+\Delta_p^e L(t_0, T_p, T_e)} \end{align*} es el ajuste de convexidad. En la práctica, se puede suponer que $\rho\approx 1$ y $\sigma_p\approx\sigma_s$ .

Answer 2

Parece que se trata de un intercambio de CMS (a corto plazo, sólo 3 meses). Escribí un artículo sobre los diferentes enfoques de los precios, disponible aquí . Puede elegir el que mejor se adapte a sus necesidades.

Answer 3

Lo que necesita es el ajuste de convexidad para el libor a 3 meses cuando el pago se realiza 1 mes después de la fecha de reajuste (es decir, 2 meses antes de la fecha natural). Como aproximación, esto será aproximadamente 2/3 del ajuste de convexidad para un swap de atrasos (pagado 3 meses antes de la fecha natural) y será aproximadamente 4/3 del ajuste de convexidad para un swap de media (pagado una media de 1,5 meses antes de la fecha natural).

Answer 4

Enfoque práctico de los ajustes de convexidad y tiempo

Omitiendo las derivaciones porque las respuestas anteriores ya las han cubierto, vamos a abordar cómo podemos calcular explícitamente los ajustes. Hull (págs. 765, ecuación (33.2), OFaOD 9ª ed., 2015) da una fórmula explícita para el ajuste de convexidad y tiempo para un swaplet CMS (suponiendo un proceso de tasa lognormal). Esta es:

$$y_{adjusted} = y - \frac{1}{2}y^2 \sigma_y^2t \frac{G''(y)}{G'(y)}- \frac{y\tau F \rho \sigma_F \sigma_yt}{1+F \tau} \tag{1}$$

donde

$y$ = tipo de referencia del instrumento (por ejemplo, el tipo de swap de un CMS),

$G(y)$ = Función PV para el instrumento de referencia,

$t$ = tiempo de observación de la tasa de referencia,

$\tau$ = período de devengo entre la observación y el pago ( $t_{i+1} - t_i$ ),

$F$ = tipo de interés a plazo para el periodo de devengo,

$\sigma_y$ = volatilidad de $y$ ,

$\sigma_F$ = volatilidad de $F$ ,

$\rho$ = correlación entre $F$ y $y$ .

Tenga en cuenta que todo esto se refiere a la $i$ El swaplet CMS de la secuencia $t_1,t_2,...,t_i,...,t_N$ donde $t_N$ es el vencimiento del swap. Así pues, todas las variables anteriores de la ecuación son con respecto al $i$ de la época. He suprimido el $i$ para simplificar la notación.

Dado que un CMS es una forma generalizada de prácticamente cualquier swap de tipos de interés (por ejemplo, en un IRS vainilla los dos términos de la ecuación anterior se anulan mutuamente), podemos utilizarlo para aplicarlo al caso mencionado por el autor de la pregunta (3mL fijados por adelantado y pagados a plazos mensualmente). Aquí $F = y = $ Libor a 3 meses fwds, $\sigma_F=\sigma_y=\sigma = $ Volatilidad de 3mL, $\rho=1$ y $\tau = $ devengo mensual. A continuación, se establece

$$G(y)= \frac{1}{(1+y \upsilon)}$$

donde $\upsilon$ es el periodo de devengo de 3mL (trimestral), un poco de álgebra da:

$$y_{adjusted} = y + \sigma^2 y^2 t \cdot \frac{\upsilon-\tau}{(1+y\upsilon)(1+y \tau)}. \tag{2}$$

Esto lleva a un ajuste positivo en el caso de la persona que pregunta, es decir $\upsilon > \tau$ .

Para una pata flotante IRS de vainilla de 3mL $\upsilon = \tau$ y cualquier ajuste desaparece como se ha mencionado anteriormente. En este aspecto la ecuación (2) es bastante reveladora porque lo que está diciendo es que hay varianza en cualquier la única razón por la que un tramo de tipo flotante se convierte en vainilla es mediante el establecimiento de $\upsilon=\tau$ para eliminar la varianza y hacer que los tipos sean deterministas al inicio del swap. En otras palabras, los ajustes de convexidad no son la excepción sino la regla .

Obsérvese también que si en lugar de ello tuviéramos 1mL fijado en adv y pagado a plazos trimestralmente ( $\upsilon < \tau$ ) entonces el ajuste sería negativo (y en este caso estaríamos trabajando con fwds de 1mL y $\sigma$ = 1mL de volatilidad).

Por último, para el caso del Libor a plazos $\tau = 0$ y obtenemos la fórmula estándar

$$y_{adjusted} = y + \frac{\sigma^2 y^2 t \upsilon}{(1+y\upsilon)}$$

(ibid. ecuación (33.1)).

Enfoque intuitivo de los ajustes de convexidad y tiempo

Si bien todo lo anterior ofrece una forma práctica de calcular los ajustes de convexidad/tiempo, no aborda la intuición de por qué se producen, cómo se comparan y, además, por qué pueden ser tanto positivos como negativos. Abordemos esto. Lo que sigue es una adaptación y ampliación de Rebonato (pp.30-36, IROM, 2ª ed, 2000).

Considere un FRA de vainilla con huelga $K_v$ que se fija en $t_i$ y paga a $t_{i+1}$ el $\tau_i$ -libor sobre un nocional de 1, donde $\tau_i=t_{i+1}-t_i$ . Considere también una FRA con huelga $K_a$ que se fija en $t_i$ y paga el $\tau_i$ -Tasa de libración en $t_i$ también sobre un nocional de 1. ¿Cómo se comparan estos dos FRAs? Bien, una forma ingenua es decir que el primero es equivalente al segundo con el nocional de pago escalado para tener en cuenta el desfase temporal $\tau_i$ . Más concretamente, dejemos que el factor de descuento de $t_{i}$ a $t_{i+1}$ sea $df_{i,i+1}$ y el factor de descuento inverso sea $1/df_{i,i+1} = df_{i+1,i}$ . Entonces tenemos $FRA_a$ con huelga $K_a$ sobre un nocional de 1 y $FRA_v$ con huelga $K_v$ en un a escala nocional de $df_{i+1,i}$ para que ambos FRAs se fijen en $t_i$ y tienen un pago que puede equipararse a un nocional de referencia de 1 en $t_i$ .

Consideremos ahora la siguiente estrategia: recibir fijo (pagar flotante) en $FRA_v$ y pagar fijo (recibir flotante) en $FRA_a$ y establecer $K_a=K_v=K$ porque pensamos que las dos FRA son equivalentes. Dejemos que el $\tau_i$ -libor que se fija en $t_i$ sea $y$ . Ahora hay dos posibilidades:

$$\text{Scenario A: rates are higher i.e. } y>K$$ $$\text{Scenario B: rates are lower i.e. } y<K.$$

En el escenario (A), ganamos dinero con $FRA_a$ y perder dinero en $FRA_v$ . Más concretamente $$PnL_A=\tau_i(y-K) - \tau_i df_{i+1,i}(y-K)df^L_{i,i+1}.$$ En el escenario (B), perdemos dinero en $FRA_a$ y ganar dinero en $FRA_v$ , $$PnL_B= - \tau_i (y-K) + \tau_i df_{i+1,i} (y-K)df^H_{i,i+1}.$$ Aquí $df^L_{i,i+1}$ es el factor de descuento realizado en el escenario (A) y $df^H_{i,i+1}$ es el factor de descuento realizado en el escenario (B), una vez que la fijación $y$ es conocido. Estamos trabajando en el tiempo $t_i$ aquí por lo que hay que descontar los pagos de $FRA_v$ (que se producen en el momento $t_{i+1}$ ) para equipararlos con los pagos de $FRA_a$ . Vale la pena subrayar aquí que el término nocional $df_{i+1,i}$ de $FRA_v$ es un fijo número definido al principio al entrar en la estrategia y no cambia en los escenarios (este es esencialmente el punto del ejercicio). La observación clave es que $$df^L_{i,i+1}<df^H_{i,i+1}$$ porque los factores de descuento se mueven de forma inversa a los tipos . Esto significa que nuestra estrategia tiene una ganancia neta de $$X_i=PnL_A+PnL_B=\tau_i df_{i+1,i}(df^H_{i,i+1}-df^L_{i,i+1})(y-K)$$ independientemente de si los tipos suben o bajan. Esto es un arbitraje y niega nuestra suposición de equiparar $FRA_a$ y $FRA_v$ simplemente escalando el nocional en este último. Obsérvese que también hay un escenario (C) en el que la estrategia está libre de arbitraje, pero éste es el caso trivial en el que todos los contratos a plazo se realizan, es decir $y-K = 0$ .

Para eliminar el arbitraje, la tasa de interés de la huelga $K_a$ en $FRA_a$ debe ajustarse más alto por una cantidad que compense la ganancia $X_i$ en la estrategia. Esto garantiza que hagamos menos en $FRA_a$ en el escenario (A) y pierden más en $FRA_a$ en el escenario (B). Se trata de un positivo ajuste (es decir $K_a>K_v$ ) y aborda el caso del libor a plazos del que hemos estado hablando hasta ahora, digamos 3mL fijos y pagados en la misma fecha por ejemplo.

Sin embargo, podríamos elegir un tiempo arbitrario $t_k$ para el pago de $FRA_a$ , donde $t_i< t_k < t_{i+1}$ . En este caso, la estrategia sería la misma con el nocional de $FRA_v$ escalado por una cantidad $df_{i+1,k}$ (para equiparar un nocional de 1 a $t_k$ en su lugar). Además, el periodo de devengo ahora es realmente $\tau_k=t_k-t_i$ y no $\tau_i$ como antes. Ahora terminaríamos con una ganancia de $$X_k=\tau_k df_{i+1,k} (df^H_{k,i+1}-df^L_{k,i+1})(y-K).$$ Hay que tener en cuenta tres puntos: en primer lugar, $\tau_k<\tau_i$ ; en segundo lugar, $df_{i+1,k} < df_{i+1,i} $ ; en tercer lugar, $ df^L_{i,i+1} < df^H_{i,i+1} < df^L_{k,i+1} < df^H_{k,i+1}$ y los factores de descuento son una función decreciente no lineal del tiempo. Por lo tanto, $$0<\tau_k df_{i+1,k} (df^H_{k,i+1}-df^L_{k,i+1}) < \tau_i df_{i+1,i} (df^H_{i,i+1}-df^L_{i,i+1}). $$ En otras palabras, $$0<X_k < X_i.$$ Por lo tanto, el ajuste para el pago en $t_k$ seguirá siendo positivo pero menos que el ajuste cuando el pago es a $t_i$ (el caso in-arrears). Este sería el caso cuando tenemos 3mL fijos y pagados mensualmente, por ejemplo. Es esclarecedor observar aquí que cuanto más altos son los tipos, más convexa se vuelve la curva del factor de descuento. Por tanto, la diferencia $ X_i-X_k$ y, por tanto, la diferencia en los ajustes de convexidad correspondientes, es más acentuada en un entorno de tipos altos en comparación con uno de tipos bajos.

Por último, consideremos la situación en la que la fecha de pago de $FRA_a$ es en el momento $t_l > t_{i+1}$ . En este caso, la estrategia consiste en recibir un fijo (pagar un flotante) $FRA_a$ con nocional 1 y pagar fijo (recibir flotante) $FRA_v$ con con descuento nocional $df_{i+1,l}$ (para equiparar un nocional de 1 a $t_l$ ). Además, el periodo de devengo es ahora $\tau_l=t_l-t_i$ . Así, en el escenario (A), nuestra cartera tiene $$PnL_A=- \tau_l(y-K) + \tau_l df_{i+1,l} (y-K)df^L_{l,i+1}$$ y en el escenario (B) $$PnL_B = \tau_l(y-K)-\tau_l df_{i+1,l} (y-K)df^H_{l,i+1}.$$ Tenga en cuenta que $$df^H_{l,i+1}<df^L_{l,i+1}$$ es decir, estamos trabajando con factores de descuento inversos. Una vez más, obtenemos una ganancia sin riesgo de $$X_l=PnL_A+PnL_B=\tau_l df_{i+1,l} (df^L_{l,i+1} - df^H_{l,i+1})(y-K).$$ En este caso tendríamos que baja el índice de aciertos $K_a$ en $FRA_a$ para compensar la ganancia $X_l$ y eliminar el arbitraje. Esto asegura que perdemos más en $FRA_a$ en el escenario (A) y hacer menos en $FRA_a$ en el escenario (B). Por lo tanto, aplicamos un negativo ajuste de la tasa de $FRA_a$ (es decir $K_a<K_v$ ). Este sería el caso cuando tuviéramos 3mL fijados y pagados semestralmente por ejemplo.

Resumen

Todos los intuitivo Los ajustes discutidos en la sección anterior se recogen explícitamente en la ecuación (2) anterior. Sin embargo, es importante mencionar que hemos realizado una simplificación en la ecuación (2) al derivarla de la ecuación general de Hull sobre el CMS (1) para los pagos no estándar del libor que se analizan aquí. En concreto, al examinar el caso en el que el pago era a $t_k$ en $FRA_a$ arriba, el tamaño del ajuste de convexidad debería ser realmente una función del tipo de fijación $y$ , una tasa $F_k$ que es la tarifa a plazo de $t_k$ a $t_{i+1}$ (y determina el factor de descuento $df_{k,i+1}$ ), los vols $\sigma_y$ y $\sigma_{F_k}$ de $y$ y $F_k$ y la correlación entre estos dos índices $\rho_{y,F_k}$ . Del mismo modo, cuando la fecha de pago es a $t_l$ deberíamos trabajar con la tasa a plazo $F_l$ de $t_{i+1}$ a $t_l$ (que determina el factor de descuento $df_{i+1,l}$ ) y su vol y correlación con $y$ . En la ecuación (2) hemos supuesto $y=F_k=F_l$ y $\sigma_y=\sigma_{F_k}=\sigma_{F_l}$ y $\rho_{y,F_k}=\rho_{y,F_l}=1$ , con lo que se pierde precisión pero se gana en simplicidad.