La relación de preferencia lexicográfica no puede representarse mediante una función de utilidad

Question

Estoy atascado en el siguiente ejercicio, relacionado con las relaciones de preferencia y función de utilidad von-Neumann-Morgenstern .

Un agricultor quiere cavar un pozo en un campo cuadrado $[0,1000]\times[0,1000]$ . Las preferencias del agricultor sobre las posibles ubicaciones son lexicográficas, es decir

• Si $x_1<x_2$ entonces $(x_1,y_1)\prec(x_2,y_2)$ para todos $y_1,y_2$ .
• Si $x_1=x_2=x$ entonces $(x,y_1)\prec(x,y_2)$ si $y_1 < y_2$ .

Inicialmente, se supone que la ubicación del pozo debe tener coordenadas enteras. ¿Existe una relación de preferencia sobre las loterías, que satisfaga los axiomas de von-Neumann-Morgenstern, y extienda la relación de preferencia lexicográfica? Si es así, ¿cuál es la función de utilidad lineal que representa esta relación?

Creo que la respuesta es sí, y una posible función de utilidad lineal es: $u(x,y)=100000x + y$ .

Ahora, supongamos que la ubicación del pozo puede tener coordenadas reales. Demuestre que no existe una función de utilidad lineal que represente la relación de preferencia sobre las loterías. ¿Cuál de los axiomas de von-Neumann-Morgenstern es violado por la relación de preferencia en las loterías?

Aquí estoy atascado. No entiendo por qué la función de utilidad que sugerí arriba no funciona? ¿Y qué axioma se viola aquí?

Answer 1

Podemos decir de forma más general que las preferencias léxicas no son representables mediante una función de utilidad continua. Las preferencias léxicas no son continuas. Obsérvese la definición de una relación de preferencia continua.

La relación de preferencia $\succeq$ es continua si para cualquier secuencia de haces de consumo $(x_{i})_{i \in \mathbb{N}}$ y $(y_{i})_{i \in \mathbb{N}}$ con $x_{i} \to x$ , $y_{i} \to y$ y $x_{i} \succeq y_{i}$ para cada $i \in \mathbb{N}$ entonces $x \succeq y$ . Es decir, la continuidad preserva la relación en el punto límite.

Considere $(x_{i})_{i \in \mathbb{N}}$ definido por $x_{i} = (\frac{1}{2^{i}}, 0)$ y $(y_{i})_{i \in \mathbb{N}}$ definido por $y_{i} = (0, 1)$ . Claramente, $x_{i} \succeq y_{i}$ para cada $i \in \mathbb{N}$ . Sin embargo, $x_{i} \to (0, 0)$ mientras que $y_{i} \to (0, 1)$ . Así que esta relación de preferencia no se conserva en el punto límite.

Más generalmente, ninguna función de utilidad representa la relación de preferencia léxica. Demuestro que para $\mathbb{R}_{+}^{2}$ pero este argumento se extiende a $\mathbb{R}_{+}^{n}$ proyectando en $\mathbb{R}_{+}^{2}$ .

Prueba : Supongamos por el contrario que alguna función de utilidad $u : \mathbb{R}_{+}^{2} \to \mathbb{R}$ representa $\succ_{lex}$ . Por lo tanto, tenemos $u(x, 1) > u(x, 0)$ , como $(x, 1) \succ (x, 0)$ . Construimos el intervalo $I(x) = [u(x, 0), u(x, 1)]$ . Ahora bien, para dos casos distintos $x, y \in \mathbb{R}_{+}$ , $I(x) \cap I(y) = \emptyset$ ya que tenemos $x > y$ o $y > x$ (así que WLOG, tenemos $(x, 0) \succ (y, 1)$ ).

Definir $\mathbb{I} = \{ I(x) : x \in \mathbb{R}_{+} \}$ y que $\phi : \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{I}$ sea dada por $\phi(x) = I(x)$ . Observe que $\phi$ es una inyección, ya que cada $I(x), I(y)$ son disjuntos para distintos $x, y$ .

Tenga en cuenta que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ . Por tanto, existe un número racional en cada intervalo. Definir $\tau : \mathbb{I} \to \mathbb{Q}$ tal que $\tau(I(x))$ devuelve un número racional contenido en $I(x)$ . Así que $\tau$ es una inyección. Tenemos $\tau$ compuesto con $\phi$ una inyección, lo que implica $|\mathbb{R}_{+}| \leq |\mathbb{Q}_{+}|$ una contradicción. QED.

Answer 2

Considere las ubicaciones (1) $(0.000001,1)$ y (2) $(0.0000005,10)$ . $U\left(x_1,y_1\right) = 1.1$ . $U\left(x_2,y_2\right) = 10.05$ . Sin embargo, $x_2 < x_1$ , por lo que no se trata de una ordenación lexicográfica. Sólo con la restricción adicional de que los valores de $x$ y $y$ sean números enteros $\in[0,1000]$ que la función que propone tiene este atributo. Porque los valores reales de $x$ y $y$ implica que $x_i / y_i$ puede hacerse arbitrariamente grande o pequeña, ninguna función lineal puede garantizar un ordenamiento lexicográfico sobre todos los valores posibles de $x$ y $y$ . Es decir, especificar una función de utilidad de la forma $$U = \beta \cdot X + Y$$ Si $X$ tiene que ser un número entero, entonces siempre que $\beta>1000$ esto será lexicográfico en el dominio del problema porque un aumento de una unidad en $X$ siempre pagará más utilidad que 1.000 unidades de $Y$ . Pero si $X$ es un número real, el problema cambia. Consideremos cualquier valor arbitrario de $\beta > 1000$ que hubiera satisfecho el problema de los enteros. Para los cambios en $X > 1/\beta$ esto sigue funcionando (conserva los prefijos de la lex.) en el problema de los números reales. Pero para los cambios en $\Delta X < 1000 / \beta$ : $$ U(X + \Delta X,0) = \beta (X+\Delta X) < \beta X + 1000= U(X,1000)$$ Porque por construcción $\beta \cdot \Delta X < 1000$ . Así que estas preferencias no son lexicográficas sobre valores arbitrarios de $X$ y $Y$ .