Mi pregunta es sobre la diferencia entre las probabilidades de riesgo neutro y el factor de descuento estocástico. Estoy confundido en cuanto a cómo se relacionan.
Respuesta
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YviDe
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La medida de probabilidad de riesgo neutro $Q$ es la verdadera medida de probabilidad $P$ veces el factor de descuento estocástico $M$ pero reajustado de manera que $Q$ suma a 1.
Derivación simple
Para simplificar al máximo, trabajaré en un espacio de probabilidad discreta con $n$ posibles resultados. Todo pasa por la teoría de la medida en más general, un número infinito de espacios de probabilidad de resultados.
Deje que $ \mathbf {x}$ ser un vector que denote los flujos de dinero en esos $n$ estados. Deje que $ \mathbf {p}$ ser un vector que denote las probabilidades de aquellos $n$ estados. Deje que $ \mathbf {m}$ ser un vector que denote el factor de descuento estocástico.
Si un factor de descuento estocástico $ \mathbf {m}$ existe, el precio actual del flujo de caja futuro $ \mathbf {x}$ está dada por:
$$ f( \mathbf {x}) = \sum_ {i=1}^n p_i m_i x_i $$
La idea básica detrás de las probabilidades de riesgo neutro es reajustar $p_im_i$ y llamarlo $q_i$ . (Nota $p_im_i$ es el precio de hoy para un flujo de efectivo de 1 en el estado $i$ un tipo de reclamación contingente conocida como Flecha de seguridad ). Definir el vector $ \mathbf {q}$ como: $$ q_i = \frac {p_i m_i}{ \sum_ {j=1}^n p_j m_j}$$
Obsérvese que $ \mathbf {q}$ es también un vector de probabilidad ya que $ \sum_i q_i = 1$ . Es un vector de precios estatales reajustado de manera que $ \mathbf {q}$ es un vector de probabilidad. También hay que tener en cuenta que la tasa libre de riesgo debe satisfacer $1 = \sum_i p_i m_i r$ . Por lo tanto, la tasa libre de riesgo $r = \frac {1}{ \sum_i p_i m_i}$ . Entonces..: \begin {alineado*} f( \mathbf {x}) &= \sum_i \underbrace {p_i m_i}_{= \frac x_i \\ &= \frac {1}{r} \sum_i q_i x_i \end {alineado*}
El precio actual del flujo de caja $ \mathbf {x}$ está dada por la expectativa de $ \mathbf {x}$ bajo la medida de probabilidad $ \mathbf {q}$ descontada por la tarifa libre de riesgo.
La misma lógica se aplica en la teoría de la medida (pero tienes un poco más de matemáticas formales con un derivado de Radon-Nikodym, etc...).
$$ \mathbb {E}^P[MX] = \frac {1}{r} \mathbb {E}^Q[X] \quad \quad \frac {dQ}{dP} = r M \quad \quad r = \frac {1}{ \mathbb {E}^P[M]}$$
La idea de la fijación de precios sin riesgo es increíblemente simple: poner el factor de descuento estocástico en la medida de la probabilidad.
