Encontrar la distribución de $\int_0 ^T uW_u du$

Question

Me gustaría encontrar la distribución de $\int_0 ^T uW_u du$ donde $(W_u)_{u\geq0}$ es el movimiento browniano.

Lo que he probado:

$$\int_0 ^T uW_u du = \int_0 ^T B_udu - \int_0^T \int_0^tB_sdsdt$$ por integración por partes. Sé que cada término en el lado derecho es normal, ya que cualquier integración de un proceso gaussiano es de nuevo un proceso gaussiano.

Sin embargo, no puedo concluir que el RHS es normal ya que no tengo independencia de $\int_0 ^T B_udu $ y $\int_0^T \int_0^tB_sdsdt$ desde $Cov(\int_0 ^T B_udu, \int_0^T \int_0^tB_sdsdt)=T^4 /8 \neq 0$

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Utilización de la fórmula Ito

El enfoque general que suele funcionar para este tipo de preguntas es buscar funciones tales que su diferencial de Ito contenga los términos que nos interesan. En su caso, estamos buscando una función $f(t, x)$ tal que $f_t(t, x) = t x$ . Dejemos que

\begin{equation} f(t, x) = \frac{1}{2} t^2 x \end{equation}

con

\begin{equation} f_t(t, x) = t x, \qquad f_x(t, x) = \frac{1}{2} t^2, \qquad f_{xx}(t, x) = 0. \end{equation}

Aplicando la fórmula de Ito se obtiene

\begin{equation} \frac{1}{2} T^2 W_T = \int_0^T u W_u \mathrm{d}u + \frac{1}{2} \int_0^T u^2 \mathrm{d}W_u \end{equation}

o

\begin{equation} \int_0^T u W_u \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int_0^T \left( T^2 - u^2 \right) \mathrm{d}W_u. \end{equation}

La integral Ito de un integrante determinista se distribuye normalmente con media y varianza cero

\begin{equation} \text{Var} \left( \int_0^T (T^2 - u^2) \mathrm{d}W_u \right) = \int_0^T \left( T^2 - u^2 \right)^2 \mathrm{d}u = \frac{8}{15} T^5 \end{equation}

y concluimos que

\begin{equation} \int_0^T u W_u \mathrm{d}u \sim \mathcal{N} \left( 0, \frac{2}{15} T^5 \right). \end{equation}

Discretización de la integral

Como alternativa, podríamos escribir

\begin{equation} \int_0^T u W_u \mathrm{d}u = \lim_{n \rightarrow \infty} X_n, \qquad X_n = \sum_{i = 1}^n \underbrace{t_i W_{t_i}}_{Y_i} \Delta_n, \end{equation}

donde $\Delta_n = T / n$ y $t_i = i \Delta_n$ . Entonces, cada $Y_i$ es normal con media cero y covarianza

\begin{equation} \text{Cov} \left( Y_i, Y_j \right) = t_i t_j \min \left\{ t_i, t_j \right\} = i j \min \{ i, j \} \Delta_n^3 . \end{equation}

Dejar $\bar{Y}_n$ sea el correspondiente vector-columna con elementos $\left( Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \right)'$ obtenemos en forma de matriz

\begin{equation} \bar{\Sigma}_n = \mathbb{E} \left[ \bar{Y}_n \bar{Y}_n' \right] = \Delta_n^3 \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 2 & \dots & n\\ 2 & 8 & \dots & 4 n\\ 3 & 12 & \ddots & \vdots\\ n & 4 n & \dots & n^3 \end{array} \[derecha] \N - fin {equation}

Como la suma ponderada de variables aleatorias con distribución normal está a su vez distribuida normalmente, se deduce que $X_n \sim \mathcal{N} \left( 0, \Delta_n \bar{1}_n \bar{\Sigma}_n \bar{1}_n' \Delta_n \right)$ , donde $\bar{1}_n$ es un $n$ -vector columna de unos. Tenemos

\begin{eqnarray} \text{Var} \left( X_n \right) & = & \Delta_n^5 \sum_{i = 1}^n \left( i \sum_{j = 1}^i j^2 + i^2 \sum_{j = i + 1}^n j \right)\\ & = & \Delta_n^5 \left( \sum_{i = 1}^n \left( \frac{1}{3} i^4 + \mathcal{O} \left( i^3 \right) + i^2 \left( \frac{1}{2} n^2 - \frac{1}{2} i^2 + \mathcal{O}(i) + \mathcal{O}(n) \right) \right) \right)\\ & = & \Delta_n^5 \left( \frac{1}{15} n^5 + \frac{1}{6} n^5 - \frac{1}{10} n^5 + \mathcal{O}\left( n^4 \right) \right) \\ & = & \Delta_n^5 \left( \frac{2}{15} n^5 + \mathcal{O}\left( n^4 \right) \right) \end{eqnarray}

Tenga en cuenta que $\Delta_n^5 = \mathcal{O} \left( n^{-5} \right)$ . Así, tenemos

\begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty} \text{Var} \left( X_n \right) = \frac{2}{15} T^5, \end{equation}

como antes.

Answer 2

Otro enfoque consiste en utilizar el teorema de Fubini para escribir que \begin{align} \int_0^T u W_u du &= \int_0^T \int_0^u u\, dW_v\, du \tag{$W_u = \int_0^u dW_v$} \\ &= \int_0^T \int_v^T u\, du\, dW_v \tag{Fubini}\\ &= \frac{1}{2}\int_0^T (T^2 - v^2) dW_v \end{align} Se trata de una integral de Itô. Como el integrando es determinista, se distribuye de forma gaussiana con media cero y varianza dada por la isometría de Itô $$ \int_0^T u W_u du \sim N\left(0, \frac{1}{4}\int_0^T (T^2 - v^2)^2 dv \right) $$

Answer 3

En primer lugar, debe aplicar la integración por partes:

$\int_0^T uW_udu = \frac{u^2}{2}W_u \mid_0^T - \int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u $ donde ambas partes se distribuyen normalmente. La varianza del primer sumando es $(\frac{T^2}{2})^2T = \frac{T^5}{4}$ por definición, la varianza del segundo sumando se puede encontrar por Isometría de Ito: $ Var \left( \int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u \right) = E \left(\int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u \right)^2 = \int_0^TE\frac{u^4}{4}du = \frac{T^5}{20} $ . Estos dos términos están correlacionados, por lo que tenemos que calcular la covarianza (de nuevo utilizando la isometría de Ito):

$ Cov(\frac{T^2}{2}W_T, \int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u) = \frac{T^2}{2}E(W_T\int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u) = \frac{T^2}{2}E(\int_0^TdW_u\int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u) = \\ \frac{T^2}{2}\int_0^T\frac{u^2}{2}du = \frac{T^5}{12} $

Así que, como $ Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X,Y) $ obtenemos que:

$ Var(\int_0^T uW_udu) = \frac{T^5}{4} + \frac{T^5}{20} - \frac{T^5}{6} = \frac{2T^5}{15} $ ,

por lo que la expectativa de la integral de Ito es 0, $\int_0^T uW_udu $ ~ $ N(0, \frac{2T^5}{15}) $