¿Ayuda para entender los multiplicadores lagrangianos?

Question

Estoy tratando de entender los multiplicadores lagrangianos y utilizando un problema de ejemplo que encontré en Internet.

Configuración del problema:

Consideremos un consumidor con función de utilidad $u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ , donde $\alpha \in (0,1)$ . Supongamos que este consumidor tiene una riqueza $w$ y los precios $p =(p_x,p_y)$ . Eso es todo lo que nos dieron.

El trabajo que hice:

A continuación, definí una ecuación de restricción presupuestaria: $w = xp_x + yp_y$ . También definí un lagrangiano asociado para el problema de maximización del consumidor: $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$ .

Mi pregunta:

¿Qué me permite hacer esta ecuación? Aunque la he configurado teniendo en cuenta la fórmula de la página de Wikipedia sobre los multiplicadores lagrangianos, realmente no tengo ni idea de cuál es el propósito de esta ecuación. Al igual que no entiendo cómo la ecuación, tal y como está dada, me permite determinar cómo maximizar mi función de utilidad.

Nota: Estoy familiarizado con el cálculo multivariable y los Lagrangianos ( $L = T -V$ ) en física, pero este método es nuevo para mí.

Answer 1

Una función de optimización restringida maximiza o minimiza un objetivo sujeto a una o más restricciones. Tal y como yo lo entiendo, el enfoque del multiplicador de Lagrang transforma un problema de optimización con restricciones (I) en un problema de optimización sin restricciones (II) en el que los valores de control óptimos del problema II son también los valores de control óptimos del problema I. Además, las funciones objetivo de los problemas I y II toman los mismos valores óptimos. El truco es una forma inteligente de poner las restricciones en la función objetivo directamente en lugar de usarlas por separado.

Estoy de acuerdo con su presentación del problema de maximización del consumidor: $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$ .

Ahora tomamos las derivadas parciales con respecto a x e y, las hacemos iguales a cero, y luego resolvemos para x* e y*.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$ (ecuación 1)

Recuperar la ecuación de restricción presupuestaria tomando la derivada parcial $\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$ .

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$ (ecuación 2)

Ahora tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (x,y) y podemos resolver para x* e y*.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

$\rightarrow \alpha = xp_x/w$ (resultado 1)

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$ (resultado 2)

Los resultados 1 y 2 forman el famoso resultado de las cuotas de gasto constantes para las funciones de utilidad y producción Cobb-Douglas. Que también puede resolverse explícitamente para x* e y*: $x^* = \alpha w /p_x$ y $y^* = (1-\alpha) w /p_y$ que son los valores óptimos tanto para el Lagrangiano como para los problemas originales.

Answer 2

El uso de multiplicadores Lgrange para optimizar una función bajo restricciones es una técnica Aunque, al final, proporciona conocimientos e información adicionales. Ciñéndonos al caso de las restricciones de igualdad, el problema

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

puede, por supuesto, transformarse en un problema sin restricciones mediante una sustitución directa:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Pero, en general, la sustitución directa puede producir expresiones engorrosas (especialmente en problemas dinámicos), en las que será fácil cometer un error algebraico. Así que el método de Lagrange tiene una ventaja en este caso. Además, el multiplicador de Lagrange tiene una interpretación económica significativa. En este enfoque, definimos una nueva variable, por ejemplo $\lambda$ y formamos la "función de Lagrange"

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\Lambda(x,y,\lambda)$ es equivalente a $u(x,y)$ ya que la parte añadida a la derecha es idéntica a cero. Ahora maximizamos el Lagrangean con respecto a las dos variables y obtenemos las condiciones de primer orden

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

Equiparación a través de $\lambda$ esto proporciona rápidamente la relación fundamental

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

Esta relación óptima, junto con la restricción presupuestaria, proporcionan un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, por lo que proporcionan la solución $(x^*, y^*)$ en función de los parámetros exógenos (el parámetro de utilidad $\alpha$ los precios $(p_x,p_y)$ y la riqueza dada $w$ ).

Para determinar el valor de $\lambda$ multiplicando cada una de las condiciones de primer orden por $x$ y $y$ respectivamente y luego sumar por lados para obtener

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Con la utilidad homogénea de grado uno, como es el caso de las funciones Cobb-Douglas, tenemos que

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

y por lo tanto en el fardo óptimo tenemos

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

Y así es como el multiplicador de Lagrange adquiere una interpretación económicamente significativa: su valor es el utilidad marginal de la riqueza . Ahora, en el contexto de ordinal utilidad, la utilidad marginal no es realmente significativa (véase también el discusión aquí ). Pero el procedimiento anterior puede aplicarse, por ejemplo, a un problema de minimización de costes, en el que el multiplicador de Lagrange refleja el aumento del coste total por un incremento marginal de la cantidad producida, y por tanto es el Coste Marginal.

Answer 3

Esto es para la intuición, no para el rigor, y supone que sabemos en qué sentido querrías desviarte de la restricción. Aquí es fácil; querrías gastar de más, así que invocamos a Lagrange para que te discipline a gastar $w$ en lugar de más. Piensa en el problema en los siguientes pasos:

1. Desea salir a consumir pizza ( $x$ ) y la cerveza ( $y$ ), y pide a tus padres que te presten una tarjeta de crédito.
2. Tus padres te conocen, así que con la tarjeta de crédito te hacen la siguiente advertencia: si gastas más de $w$ dejaremos que nuestro malvado vecino, el Sr. Lagrange, te golpee los dedos, provocando un dolor que vale la pena $\lambda$ unidades de utilidad por cada dólar que gastes de más.
3. Mira el lagrangiano; ahora es tu utilidad neta de la penalización, en función de la pizza ( $x$ ), la cerveza ( $y$ ) y el dolor ( $\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$ ). Desde su punto de vista, usted acaba de maximizar esto para dado $\lambda$ (lo que significa, en particular, que si $\lambda$ es muy pequeño, sobrepasar su presupuesto groseramente le valdrá un pequeño número de bofetadas del Sr. Lagrange).
4. Desde el punto de vista de tus padres, quieren adaptarse $\lambda$ al número que le hace elegir voluntariamente gastar precisamente $w$ dejando al Sr. Lagrange a raya. (Elegir $\lambda$ mayor le llevaría a gastar menos, podría ajustar la interpretación en consecuencia).
5. Por supuesto, entonces elegirá precisamente el nivel en el que le resulte indiferente tener o no tener el paquete de consumo adicional y la penalización. De ahí la interpretación del precio sombra: $\lambda$ es (más exactamente: una aproximación de primer orden) lo que estaría dispuesto a pagar - en las mismas unidades que su función objetivo. para que le aumenten el presupuesto.

En cuanto a la sugerencia de cambiar el signo en la restricción: por supuesto que funciona matemáticamente, pero apenas lo uso para fines de instrucción; lo dejo como está, $u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$ expone una restricción (que no le gusta, reduce su utilidad) como equivalente a una impuesto (que tampoco te gusta, por la misma razón). Desde un punto de vista económico, se tiene la idea de que la restricción se aplica mediante un impuesto, y eso es instructivo para, por ejemplo, modelar los impuestos pigouvianos que internalizan las externalidades (negativas no deseadas).

Answer 4

Te recomiendo que trabajes en esta respuesta párrafo por párrafo, asegurándote de que has entendido cada uno de ellos por separado, o te confundirás. Incluso puedes ignorar los posteriores si no es necesario para tu propósito.

La idea principal es que si el punto es un extremo condicional, entonces es necesariamente un punto estacionario del Lagrangiano, es decir, un punto en el que todas las derivadas parciales del Lagrangiano son cero. Para resolver el problema hay que identificar todos los puntos estacionarios y luego encontrar el máximo entre ellos.

Sin embargo, en general esta receta no es fiable, ya que el máximo puede no existir. Normalmente se puede verificar su existencia con el teorema de Weierstrass. Requiere que la ficción sea continua y que el conjunto sea compacto, que es el caso que nos ocupa. En general, significa que hay que comprobar los puntos límite del conjunto en cuestión, los puntos $x= 0$ y puntos $y = 0$ .

En este caso tu ecuación es insuficiente para la solución, ya que el conjunto que consideras está definido por desigualdades y no por igualdades. Puedes señalar que la función es monótona en $x$ y $y$ , por lo que el máximo está en el límite superior derecho. También la utilidad es 0 si $x = 0$ o $y=0$ mientras que hay puntos factibles en los que es estrictamente positivo, por lo que el máximo no puede alcanzarse ni en los límites izquierdo ni en los inferiores. Entonces este enfoque está completamente justificado.

En el futuro deberías ser consciente de que un problema de este tipo debería resolverse generalmente aplicando el Teorema de Kuhn-Tucker y te recomiendo que te familiarices con él después de comprender este material.

Answer 5

Como otros han señalado, la esencia del método de Lagrange consiste en convertir un problema de extremo restringido en una forma tal que se pueda aplicar el FOC del problema de extremo libre. En tu caso, has transformado el problema no restringido ( $\max u(x,y)$ ) a:

$$ \Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y)) $$

Si se asume que la restricción se cumplirá, es decir, que $xp_x+yp_y=w$ entonces el último término desaparecerá independientemente del valor de $\lambda$ para que $\Lambda$ será idéntica a $u$ . El truco es tratar $\lambda$ como una variable de elección adicional, maximizando así $\Lambda(x,y,\lambda)$ . Dado que la condición de primer orden para $\lambda$ es

$$ \frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ podemos estar seguros de la satisfacción de la restricción y de la desaparición de $\lambda$ .

En cuanto a la interpretación de $\lambda_i$ (el multiplicador de Lagrange), en términos económicos generales es el precio sombra de la $i$ de la restricción. En tu caso, en el que sólo hay una restricción presupuestaria, el precio sombra es el coste de oportunidad de la restricción presupuestaria, es decir, la utilidad marginal del dinero del presupuesto (ingresos).

Otra forma de verlo es que $\lambda$ mide la sensibilidad de $\Lambda$ a los cambios en la restricción (presupuestaria). De hecho, se puede demostrar que

$$ \frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^* $$

Obsérvese que para esta interpretación de $\lambda^*$ para que tenga sentido hay que expresar siempre la restricción como $w-(xp_x+yp_y)$ , no como $(xp_x+yp_y)-w$ (como lo has escrito en tu configuración).