Demanda marshalliana de Cobb-Douglas

Question

Al tratar de maximizar la utilidad teniendo una función de utilidad cobb-douglas $u=x_1^ax_2^b$ con $a+b = 1$ He encontrado las siguientes fórmulas ( Wikipedia: Demanda marshalliana ):

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

En uno de mis libros también encuentro estas fórmulas para el mismo fin:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

Con $p_i$ : p $m$ : presupuesto

Los he probado todos y han dado los mismos resultados.
¿Hay alguna diferencia?

Answer 1

Dado que $a + b=1$ las ecuaciones son exactamente los mismos. Sustituyendo en la $a+b$ con $1$ en la tercera y cuarta ecuaciones da la primera y la segunda ecuación.

Answer 2

Esta es la forma en que usted recibe de su primera ecuación a la segunda. su función de utilidad es de $u(x_1, x_2)=x_1^un x_2^b$ dado que $a+b=1$ voy a cambiar un poco a a y (1-a) Con el fin de optimizar estas dos opciones, usted necesita para maximizar la utilidad, wrt su elección de las variables.

sujeto a $p_1x_1 + p_2x_2 = w$ utilizando la Ley de Walras. Básicamente, con el fin de optimizar la utilidad, todo el dinero será gastado.

Cobb-Douglas funciones son típicamente difíciles para problemas de optimización. Una transformación monotónica que conserva el ordinal propiedades de la función puede ser utilizada.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Este será usado en su lugar. La misma restricción presupuestaria será aplicada.

El Lagrange y Condiciones de Primer Orden son a Continuación

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δ l} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δ l} {δx_2}=\frac{1} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

la manipulación de las condiciones de Primer orden resultado en

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

sustituyendo en la restricción presupuestaria, $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w} {−p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

y

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w} {−p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Utilizando estos resultados, podemos averiguar el óptimo consumo de paquetes de $x_1$ y $x_2$ para un precio dado, la riqueza de la combinación.

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$