La logarítmica de la ecuación de Euler con un término de expectativa

Question

Hay unos pocos recursos en línea disponibles para ayudar con la logo-linealización (por ejemplo, aquí o aquí ). Sin embargo, la logaritzación cuando se trata de una expectativa es un poco difícil porque el registro no puede simplemente "pasar a través" del operador de la expectativa. ¿Podría alguien ayudar con el álgebra en este ejemplo?

Tengo la ecuación de Euler (ecuación 1) $$ 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left ( \frac {C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/ \psi } \right \}^ \theta \left \{ \frac {1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta } 1 + R_{i, t+1} \right ] $$ donde $ \theta = ( 1 - \gamma )/(1 - 1/ \psi )$ . Estoy tratando de derivar una expresión para la tasa libre de riesgo y una expresión para la prima de equidad. ¿Cómo debería hacer esto?

Parece que a partir del segundo enlace de arriba, debería empezar por reemplazar el variables de interés como esta $C_t = c e^{ \tilde C_t}$ . Luego siguiendo los pasos dados, parece que debería llegar a (ecuación 2)

\begin {alinear} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left ( \frac { \tilde C_{t+1} + 1}{ \tilde C_t + 1} \right )^{-1/ \psi } \right \}^ \theta {} \left \{ \frac {1}{(1 + R_m)[ \widetilde {(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta } \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[ \widetilde {(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end {alinear}

Pero, ¿a dónde voy a ir desde aquí?

EDITAR:

1. He copiado la ecuación 1 directamente de las notas que tengo. Es probable que el término de la derecha, $1 + R_{i,t+1}$ debería estar entre paréntesis, $(1 + R_{i,t+1})$ . En mi intento inicial de logaritmo-linearización lo he tratado de esta manera.

2. En la ecuación 2, he seguido los pasos de la instrucción que se encuentra en el segundo enlace del principio. Así que, $R_i$ y $R_m$ sin subíndices de tiempo son estos valores en el estado estable.

3. $R_m$ es el rendimiento de la cartera de mercado y $R_i$ es el rendimiento del activo $i$ .

EDITORIAL 2:

Gracias por los útiles comentarios. Así que, por lo que he reunido hasta ahora, debería obtener algo como esto:

\begin {alinear} 1 &= E_t \left [ \delta ^ \theta (1 - \frac \theta \psi ( \tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{ \theta - 1} ( \theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac {R_m}{1 + R_m} \right ) \right . \\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac { R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end {alinear}

Entonces esto implicaría que la tasa libre de riesgo se encuentra de la siguiente manera:

\begin {alinear} 1 &= E_t \left [ \delta ^ \theta (1 - \frac \theta \psi ( \tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{ \theta - 1} ( \theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac {R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac {1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end {alinear}

¿Esto es correcto? Y ahora, para terminar la pregunta, ¿cómo encontraría el ¿Prima de equidad?

Answer 1

Ignoremos por el momento la existencia del valor esperado. Si se tratara de un montaje determinista, la linealización a través de la toma de registros sería sencilla, y sin los trucos de los enlaces que la OP proporcionó. Tomando registros naturales a ambos lados de la primera ecuación que obtenemos:

$$0 = \theta \ln \delta - \frac { \theta }{ \psi } \ln \left ( \frac {C_{t+1}}{C_t} \right )-(1- \theta ) \ln (1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag {1}$$

Set

$$ \hat c_{t+1} = \frac {C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac {C_{t+1}}{C_t} = 1+ \hat c_{t+1} \tag {2}$$

Además, nótese que es una aproximación estándar escribir $ \ln (1+a) \approx a$ al menos para $|a|<0.1$ . Por lo general, este es el caso de las tasas de crecimiento y las tasas financieras, por lo que obtenemos

$$0 = \theta \ln \delta - \frac { \theta }{ \psi } \hat c_{t+1} -(1- \theta ) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag {3}$$

que es una clara relación dinámica que une las tres variables presentes. Si en el modelo, el estado estacionario se caracteriza por un consumo constante y retornos constantes, entonces en él tendremos $ \hat c_{t+1} =0$ y así la relación de estado estacionario será

$$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1- \theta ) R_{m} \tag {4}$$

Pero hicimos todo esto ignorando el valor esperado. Nuestra expresión es $E_t \left [f \left (C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right ) \right ]$ no sólo $f \left (C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right )$ . Entra en la expansión de Taylor de primer orden de $f()$ . Necesitamos un centro de expansión. Representar las cuatro variables simplemente por $ \mathbf z_{t+1}$ (no duele que una variable con $t$ -El índice está presente en $ \mathbf z_{t+1}$ ). Elegimos expandir la función alrededor de $E_t( \mathbf z_{t+1})$ . Así que

$$f \left ( \mathbf z_{t+1} \right ) \approx f \left (E_t[ \mathbf z_{t+1}] \right ) + \nabla f \left (E_t[ \mathbf z_{t+1}] \right ) \cdot \big ( \mathbf z_{t+1}-E_t[ \mathbf z_{t+1}] \big ) \tag {5}$$

Luego

$$E_t \left [f \left ( \mathbf z_{t+1} \right ) \right ] \approx f \left (E_t[ \mathbf z_{t+1}] \right ) \tag {6}$$

Obviamente esto es una aproximación, es decir, tiene un error, aunque sólo sea por la desigualdad de Jensen. Pero es una práctica estándar. Entonces vemos que todo el trabajo previo que hicimos en la versión determinista, puede ser aplicado en la versión estocástica insertando valores esperados condicionales en lugar de las variables. Así que la ecuación $(3)$ está escrito

$$0 = \theta \ln \delta - \frac { \theta }{ \psi }E_t[ \hat c_{t+1}] -(1- \theta ) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag {7}$$

Pero donde están los valores de estado estacionario ? Bueno, los valores de estado estacionario en un contexto estocástico son un poco complicados -¿Argumentamos que nuestras variables (que ahora son tratadas como variables aleatorias) se convierten en constantes ? ¿O hay otra forma de definir un estado estable en un contexto estocástico?

Hay más de una manera. Una de ellas, es el "estado estable de previsión perfecta", donde pronosticamos perfectamente un valor no necesariamente constante (este es el concepto de "equilibrio como expectativas cumplidas"). Esto se utiliza, por ejemplo, en El libro de Jordi Gali mencionado en un comentario. "Estado estable de previsión perfecta" se define por $$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag {8}$$

Bajo este concepto, la ecuación $(7)$ se convierte en eq. $(3)$ que es ahora la ecuación de "estado estacionario estocástico perfecto" de la economía.

Si queremos una condición más fuerte, diciendo que las variables se vuelven constantes en el estado estacionario, entonces también es razonable argumentar que, de nuevo, su pronóstico será finalmente perfecto. En ese caso, el estado estacionario de la economía estocástica es el mismo que el de la economía determinista, es decir, el ecualizador. $(4)$ .

Answer 2

La aproximación correcta es $f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ . Esto es imparcial, mientras que $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ no lo es. Para ver esto, proyecto $f(x) - \overline {f(x)}$ en $x - \bar x$ donde la "barra" representa el operador de la expectativa. Entonces, aproximadamente $$ \frac { \text {Cov}(f(x), x)}{ \text {Var(x)}} \approx E[f'(x)]. $$ Esta aproximación es exacta cuando $x$ se distribuye normalmente (por el lema de Stein).

EDITAR:

Para aclarar, véase que la proyección de $f(x) - \overline {f(x)}$ en $x - \bar x$ nos da $f(x) - \overline {f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon $ donde $E[ \epsilon ] = E[ \epsilon x] = 0$ y $ \beta = \frac { \text {Cov}(f(x), x)}{ \text {Var(x)}}$ . Si usamos el lema de Stein para aproximarnos $ \beta $ como se ha descrito anteriormente, nos quedamos con $$ f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon , $$ que es imparcial, $$ E[ \epsilon ] = 0. $$ Por otro lado, $$ E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)]. $$

Answer 3

Tu problema parece ser una ecuación de precio de los activos con preferencias recursivas (Epstein-Zin). Cuando se está interesado en los precios de los activos, hay que tener cuidado con la habitual linealización "macroeconómica". Esa aproximación es equivalente a la certeza, lo que significa que los coeficientes de solución linealizada no dependen del tamaño de las perturbaciones. Además, todas las variables de la solución linealizada fluctuarán en torno a sus estados estables deterministas. Como resultado, las primas de riesgo son cero, lo cual desafía el punto.

Una solución es utilizar métodos de perturbación de orden superior (2º orden para obtener primas de riesgo constante, 3º orden para primas variables en el tiempo). Esto es fácil de hacer con los programas informáticos existentes (por ejemplo, Dynare) si se quiere resolver el modelo numéricamente de todos modos (en cuyo caso tampoco es necesario linealizar manualmente). Si en lugar de ello se prefiere una solución analítica (aproximada), la forma habitual es linealizar la dinámica de las cantidades (por ejemplo, el crecimiento del consumo), y luego obtener los precios de los activos directamente de la ecuación de Euler, calculando las expectativas mediante el supuesto de lognormalidad, como en Bansal y Yaron (2004) .

Por ejemplo, si las variables en minúsculas son logs, la ecuación habitual de Euler puede reescribirse como

$$ 1 = E_t [ \exp (m_{t+1} + r_{t+1})] $$

Si $m_{t+1},r_{t+1}$ son (condicionalmente) conjuntamente normales, lo anterior implica

$$ 0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac {1}{2} \left\ { Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\ } \tag {1} $$

La tasa libre de riesgo debe satisfacer $ \exp (-r^f_t) = E_t[ \exp (m_{t+1})]$ o

$$ r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac {1}{2} Var_t[m_{t+1}] $$

y por lo tanto debemos tener

$$ E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac {1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] $$

Para calcular realmente los precios de los activos, uno podría entonces

• expresan log-SDF como una función lineal de algunas variables de estado y choques (por ejemplo, el crecimiento del consumo logarítmico en el caso del CRRA)

• linealizar el retorno en términos de la relación logarítmica dividida-precio (aproximación Campbell-Shiller), sustituirla por (1).

• expresar la relación log D/P como lineal en las variables de estado, y luego utilizar el método de los coeficientes indeterminados para obtener una solución para ella que satisfaga (1).

En la práctica es un poco más complicado (especialmente con las preferencias de EZ, cuando uno tiene que usar el enfoque primero para derivar el rendimiento del mercado que entra en SDF, y luego la segunda vez para otros rendimientos), pero se pueden encontrar más detalles, por ejemplo, en el documento vinculado de Bansal & Yaron.