Sesgo de OLS en la estimación de la demanda: ¿el sesgo siempre subestima la elasticidad de la demanda?

Question

Algunos trabajos sostienen que la estimación OLS puede producir menos sesgo que la IV, dependiendo de la calidad de sus instrumentos. Supongamos que consideramos una ecuación de estimación de la demanda.

Supongamos que la elasticidad de la demanda es negativa en OLS. Según mi intuición, los instrumentos débiles deberían producir estimaciones sesgadas hacia MCO, pero no menos negativas. ¿Pueden ustedes producir un ejemplo? Realmente no puedo entender cómo podría conducir a una estimación más sesgada con la estimación IV.

Answer 1

Normalmente, $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$ . El denominador será cero.

Esto es cierto a menos que haya alguna correlación entre el instrumento y el término de error, y el nominador es la fuerza de la relación entre el instrumento y la variable endógena. Cuanto más pequeño sea el denominador, mayor será el sesgo $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$ .

Además, un instrumento débil no tendrá precisión, por lo que la varianza tendrá un gran sesgo al alza. \begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}

Como $n \to \inf$ \begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}

Por eso, si su instrumento es débil, puede ser mejor realizar una regresión OLS.

Answer 2

La debilidad de los instrumentos combinada con una ligera endogeneidad instrumental puede dar lugar a un sesgo mayor que el de OLS. Como muestra la respuesta de Nox, el límite de probabilidad del estimador IV es $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ . Cuando $cov(z,u) \ne 0$ aunque pequeña, si $cov(z,x)$ es pequeño, entonces el sesgo puede ser grande. Véase la observación de Bound, Jaeger y Baker (1995, JASA) tras la ecuación (7) en la página 444.

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

"De la ecuación (7) se desprende que una débil correlación entre la variable potencialmente endógena $x$ y los instrumentos, $z_1$ El error de la máquina se agrava con la correlación entre el instrumento y el error, $\varepsilon$ . Si la correlación entre el instrumento y la variable explicativa endógena es débil, entonces incluso una pequeña correlación entre el instrumento y el error puede producir una mayor inconsistencia en la estimación IV de $\beta$ que en la estimación OLS".

Sin endogeneidad instrumental, no creo que el sesgo del estimador IV (de la distribución límite, puede no haber límite de probabilidad) sea mayor que la inconsistencia de OLS.

Otra cosa a tener en cuenta es que la varianza del estimador IV utilizando instrumentos muy débiles puede ser grande incluso con un $n$ y, por lo tanto, puede tener una estimación IV más disparatada que OLS para un conjunto de datos sólo por casualidad.