¿Cómo escala el VaR de Cornish-Fisher (también conocido como VaR modificado) con el tiempo?

Question

Estoy pensando en la escala de tiempo de Cornish-Fisher VaR (ver por ejemplo página 130 aquí para la fórmula).

Implica la asimetría y el exceso de curtosis de los rendimientos. La fórmula es clara y bien estudiada (y criticada) en varios documentos para un solo período de tiempo (por ejemplo, rendimientos diarios y un VaR con un período de tenencia de un día).

¿Alguien conoce alguna referencia sobre cómo escalarlo con el tiempo? Estaría buscando algo similar a la regla de la raíz cuadrada del tiempo (por ejemplo, rendimientos diarios y un VaR con un período de tenencia de d días). Pero escalar la asimetría, curtosis y volatilidad por separado y luego volver a enchufarlos no se siente bien. ¿Alguna idea?

Answer 1

Si $z_\alpha$ es el llamado puntaje z normal estándar del nivel de significancia $\alpha$ tal que $$ \frac 1 {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z_\alpha} e^{-\xi^2/2}d\xi=\alpha $$ y asumimos normalidad, (ignorando la asimetría y la curtosis,) entonces podemos estimar el cuantil $\alpha$ de una distribución con función de distribución acumulativa $\Phi$ como $$\Phi^{-1}(\alpha)=\mu + \sigma z_\alpha.$$ La expansión de Cornish-Fisher es un intento de estimar esto con mayor precisión directamente en términos de los primeros momentos cumulantes como $$\Phi^{-1}(\alpha)=y_\alpha,$$ donde (antes de aplicar ninguna escala) $$y_\alpha= \kappa_1 + \frac {z_\alpha}2 + \frac {z_\alpha \kappa_2 }2 + \frac {(z_\alpha^2-1) \kappa_3}6 + \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \kappa_4}{24} - \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \kappa_3^2}{36}. $$ (Note que $\mu=\kappa_1$ y $\sigma^2=\kappa_2$.) Expresado directamente en términos de momentos cumulantes, intentemos escalar directamente esto con el tiempo como la convolución de variables aleatorias independientes e infinitamente divisibles. Los momentos cumulantes de todos los órdenes se escalan linealmente con el tiempo en este caso, ya que son simplemente aditivos bajo convolución. $$y_\alpha[t] = \kappa_1t + \frac {z_\alpha}2 + \frac {z_\alpha \kappa_2 t}2 + \frac {(z_\alpha^2-1) \kappa_3 t}6 + \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \kappa_4 t}{24} - \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \kappa_3^2 t^2}{36}. $$ pero queremos $y_\alpha[t] = \mu t + (\sigma\sqrt t )x_\alpha[t]$ donde $x_\alpha[t]$ es la función de cuantil de una variable aleatoria con media cero y varianza unitaria. Primero, el término $\kappa_1t$ desaparece como nuestro $\mu t$ ya que todos los demás momentos cumulantes son invariables bajo traslación. Segundo, necesitamos dividir cada momento cumulante restante $\kappa_kt$ por $(\sigma\sqrt t)^k=(\kappa_2t)^{k/2}$ (porque el k-ésimo momento cumulante es homogéneo de orden $k$.) Entonces: $$y_\alpha[t] = \mu t + \sigma\sqrt t \left[ z_\alpha + \frac {(z_\alpha^2-1) \kappa_3 t}{6(\kappa_2t)^{3/2}} + \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \kappa_4 t}{24(\kappa_2t)^2} - \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \kappa_3^2 t^2}{36(\kappa_2t)^3}\right]. $$ $$y_\alpha[t] = \mu t + \sigma\sqrt t \left[ z_\alpha + \frac {(z_\alpha^2-1) \kappa_3}{6\sigma^3t^{1/2}} + \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \kappa_4}{24\sigma^4 t} - \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \kappa_3^2}{36\sigma^6t}\right]. $$ pero generalmente escribimos $\gamma_1=\kappa_3/\sigma^3$ y $\gamma_2=\kappa_4/\sigma^4$ para la asimetría y la curtosis respectivamente, de modo que $$y_\alpha[t] = \mu t + \sigma\sqrt t \left[ z_\alpha + \frac {(z_\alpha^2-1) \gamma_1}{6\sqrt t} + \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \gamma_2}{24t} - \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \gamma_1^2}{36t}\right]. $$

El Valor en Riesgo es entonces $$\mathrm{VaR} = K_0 \left( 1 - {\exp (y_{\alpha}[t]-rt})\right),$$ donde $K_0$ es el capital inicial, $\alpha$ es algún nivel de significado, digamos del 1 al 5% o así, y $r$ es alguna tasa libre de riesgo instantánea, tasa de descuento apropiada o tasa de rendimiento requerida, como uno elija definirla. (Esta expresión debería volverse negativa por un tiempo suficientemente largo, porque a la larga casi seguramente se ganará dinero si $\mu>0$.)

Answer 2

La asimetría disminuye con el tiempo, pero la tasa de esa disminución de asimetría variará según los instrumentos y cómo se negocien, por lo que un estimador simple como la regla de la raíz cuadrada del tiempo no es apropiado.

Normalmente recomiendo que para escalar VaR o ES tiene más sentido disminuir su nivel de confianza (aumentar el parámetro alfa) a uno que tenga sentido para su período de tenencia.

Por ejemplo, supongamos que estamos trabajando con retornos diarios, como en su pregunta. Ahora supongamos que tengo un período de tenencia de un mes, y quiero un 'VaR mensual'.

Yo argumentaría que un nivel de confianza racional para esto es del 95%, o 1 de cada 20, lo que corresponde aproximadamente a la pérdida que se excederá aproximadamente 1 día al mes.

Para retornos mensuales, como en una cartera de fondos de cobertura, una confianza del 92% puede ser la más apropiada, para especificar el VaR que se excederá, en promedio, una vez al año.

Creo que este es un enfoque mucho más racional que preguntar '¿qué nivel de pérdida se excederá una vez cada 10000 años?', como muchos documentos y organismos de estándares recomiendan. Estos números no son muy útiles, como han señalado muchos otros autores.

Además, la extensión a la Esperanza de Pérdida Esperada de Cornish Fisher (también llamada CVaR o Pérdida de Cola Esperada) con el mismo enfoque que se menciona anteriormente, ayuda a escalar estos números de una manera racional, preguntando cuál es la pérdida media cuando la pérdida excede el VaR.

Más información al respecto está disponible en nuestro trabajo publicado, incluyendo este artículo del Journal of Risk que también abarca la descomposición aditiva/coherente de la VaR y la Esperanza de Pérdida de Cornish Fisher.

Answer 3

La escala de tiempo de momentos superiores para retornos ordinarios (discretos) según el documento de Wingender se ilustra en Excel y VBA en los siguientes archivos de demostración de hojas de cálculo:

Terminal-Wealth-Time-Horizon-Calcs-Normal-and-Modified-VBA y;

Liqudity-VaR-With-Correct-Time-Scaling-of-Higher-Moments

Disponible aquí

Para más información sobre las debilidades de la expansión de Cornish Fisher, consulte la presentación en Why-Distributions-Matter-16-Jan-2012