Si un proceso creciente $X_t$ tiene un conocido Laplace transformado $ \mathbb {E} e^{-s X_t} = m_t(s)$ definir su tiempo de impacto $ \tau $ a algún nivel $B$ para ser $$ \tau = \inf\ { u > 0 : X_u \geq B \}. $$ ¿Podemos expresar la transformación de Laplace (o su CDF) de $ \tau $ en términos de $m$ ?
En particular, estoy interesado en el tiempo de impacto del proceso integrado del CIR $$ X_t = \int_0 ^t V_s \ ds $$ donde $$ dV_t = ( \alpha V_t + \beta ) dt + \gamma \sqrt {V_t} dW_t. $$ La transformación de Laplace de $X_t$ es conocido en forma cerrada en este caso, y dado por $$ m_t(s) = \mathbb {E} e^{-s X_t} = \left ( \frac {e^{- \alpha t/2}}{ \cosh (Pt/2)- \frac { \alpha }{P} \sinh (Pt/2)} \right )^{2 \beta / \gamma ^2} \exp\left (- \frac {s V_0}{P} \frac {2 \sinh (Pt/2)}{ \cosh (Pt/2)- \frac { \alpha }{P} \sinh (Pt/2)} \right ) $$ donde $P = \sqrt { \alpha ^2 + 2 \gamma ^2 s}$ .
