Hay muchos modelos de finanzas cuantitativas (por ejemplo, Black-Scholes) que se formulan en términos de ecuaciones diferenciales parciales. ¿Cuál es el enfoque estándar en las finanzas cuantitativas para resolver estas ecuaciones? ¿Se utilizan algunos paquetes generales para resolver ecuaciones diferenciales (como Maple, MATLAB o Mathematica)? ¿O se utilizan algunos paquetes estándar adaptados a las ecuaciones financieras? ¿Es habitual programar los métodos numéricos desde cero (por ejemplo, en C++, Java o Python)?
Respuestas
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Salvo en casos muy inusuales, las EDP financieras carecen de soluciones analíticas. La página web matemáticas Las herramientas utilizadas son Monte Carlo, además de las habituales para la resolución de EDP en mallas, casi siempre una de las siguientes:
- Árboles, para casos muy simples
- Diferenciación finita explícita, para proyectos desechables o casos muy específicos
- Diferenciación finita implícita o de Crank-Nicolson para proyectos robustos
El software Las herramientas utilizadas suelen ser Matlab o C, especialmente para la diferenciación finita. Es habitual crear un prototipo en Matlab o Python/Numpy, y luego traducirlo a C para la solución final.
Los "paquetes" de resolución de EDP son relativamente poco utilizados, sobre todo porque están configurados para manejar los tipos de condiciones de contorno que se encontrarían, por ejemplo, en el análisis de la tensión de los materiales y no con lo que se quiere trabajar en finanzas.
Tenga en cuenta que los problemas a los que se refiere, esencialmente los de valoración de opciones, pueden considerarse como la resolución de problemas de expectativas. En particular, si una opción tiene ejercicio europeo entonces su tiempo $t$ valor $ V(t) $ se puede escribir
$ E\left[ B(t,T) V(T) \right] $
donde $ B $ representa el descuento y la expectativa se toma sobre trayectorias especificadas por una ecuación diferencial estocástica (EDS). En este caso, el problema se presta a la integración de Montecarlo, que puede ser lenta pero es muy fácil de programar.
Utilizando el teorema de Feynman-Kac o argumentos de arbitraje se puede llegar a la "EDP compañera" de esta expectativa sobre una EDS. El ejercicio americano cambia la expectativa a algo más desagradable
$ \sup_\tau \left\{ E\left[ B(t,T) V(T) \right] \right\} $
donde $\tau$ es el conjunto de todas las estrategias posibles de ejercicio temprano. Desde esta perspectiva, los árboles y los esquemas de diferenciación son esencialmente técnicas de "programación dinámica" para encontrar los valores de las opciones y las estrategias óptimas de ejercicio al mismo tiempo. Monte Carlo no puede conseguirlo (aunque existen modificaciones dinámicas de éste, como el LSMC).
Los esquemas de rejilla son difíciles de codificar, pero suelen ser la única forma de gestionar el ejercicio anticipado. Las opciones sobre acciones que cotizan en bolsa, los swaps de tipos de interés en bermudas, los bonos convertibles y un número incalculable de pagos exóticos tienen que ser tratados con ellos.
Un gran banco de inversión tendrá al menos tres solucionadores de rejillas PDE propios, casi siempre más. Cada uno manejará varios tipos de opciones, pero las categorías básicas son las siguientes:
- Un solucionador de Black-Scholes para opciones sobre acciones y otros pagos en la SDE de Black-Scholes
- Un solucionador para su modelo de tipos de interés favorito para manejar bonos rescatables, swaptions bermudas, etc.
- Un solucionador Black-Scholes para bonos convertibles
Por ejemplo, el solucionador de Black-Scholes y el Black-Scholes de salto al vacío podrán manejar opciones de acciones de ejercicio americano.
La volatilidad exótica o el uso de modelos como la volatilidad estocástica con saltos requerirían sus propios solucionadores además de los anteriores.
Macho Matt
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595
Chris Bunch
Puntos
639
Que yo sepa, las ecuaciones diferenciales como la EDP de Black-Scholes se resuelven una vez analíticamente y luego se utiliza el resultado directamente. Si una determinada ecuación diferencial de precios derivados no pudiera resolverse analíticamente, probablemente sería mejor modelarla numéricamente utilizando métodos de Montecarlo que derivar una EDP complicada que luego deba resolverse numéricamente.
