Comprendiendo la construcción de procesos estocásticos

Question

He visto procesos estocásticos modelados/construidos de la siguiente manera.

Consideremos el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ y sea $\mathbb S$ la transformación (medible) $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ que usamos para modelar la evolución del punto de muestra $\omega$ a lo largo del tiempo. Además, sea $X$ el vector aleatorio $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$. Entonces, el proceso estocástico $\{ X_t: t=0,1,...\}$ se utiliza para modelar una secuencia de observaciones mediante la fórmula $ X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)] $ o $ X_t = X \circ \mathbb S^t. $

¿Cómo debo entender los puntos de muestra $\omega \in \Omega$ y la transformación $\mathbb S$ en esta construcción? (¿Podría ser $\omega$ algo como una secuencia de choques en ciertos casos?)

Para ser más concretos, ¿cómo escribiría estos dos procesos en esta notación?

Proceso 1: $$ X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1} $$ donde $X_0 = 0$.

Proceso 2: $$ X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2} $$

Answer 1

Esta construcción que describes no es completamente general. De hecho, caracteriza estrictamente a las series temporales estacionarias. Se puede ver que es invariante ante desplazamientos. Este operador $S$ es esencialmente un operador de desplazamiento.

Para comparar, aquí está la definición usual de procesos, digamos que, en tiempo discreto:

Definición Un proceso estocástico es una secuencia $\{ X_t \}$ de aplicaciones medibles de Borel en un espacio de probabilidad $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )

.

Ahora, para lo que estás describiendo, tienes una aplicación Borel medible fija $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$. Es la medida subyacente la que evoluciona de acuerdo a $S$. La aplicación $S$ induce una nueva "medida de empuje hacia adelante" (en el lenguaje de teoría de la medida) en $\Omega$ simplemente tomando preimágenes: define una medida $\mu_S$ de la siguiente manera

$$ A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)). $$

Entonces, el vector aleatorio $X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ es $X \circ S$ por construcción. Inducen la misma medida de empuje hacia adelante en $\mathbb{R}^n$. Haz esto con $S^t$ para cada $t$ y tendrás tus series temporales.

En cuanto a tu pregunta sobre $\omega$, inspeccionar la prueba para la otra dirección debería aclarar esto --- es decir, cualquier serie temporal estrictamente estacionaria debe necesariamente tomar esta forma para algún $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$, $X$ y $S

.

El punto básico es que, desde un punto de vista general, un proceso estocástico es una medida de probabilidad en el conjunto de sus posibles realizaciones. Esto se ve, por ejemplo, en la construcción de Wiener de la trayectoria browniana; él construyó una medida de probabilidad en $C[0, \infty)$. Entonces, en general, un $\omega$ es una trayectoria de muestra y $\Omega$ consiste en todas las posibles trayectorias de muestra

.

Por ejemplo, toma los dos procesos a los que hiciste referencia anteriormente. Son estrictamente estacionarios, si supongamos que las innovaciones son gaussianas. (Cualquier serie temporal covariante estacionaria impulsada por innovaciones gaussianas es estrictamente estacionaria). La construcción comenzaría tomando $\Omega$ como el conjunto de todas las secuencias, $\mathcal{F}$ la $\sigma$-álgebra generada por las aplicaciones de coordenadas y $Pr$ la medida apropiada. Para el proceso de ruido blanco (2), $Pr$ es simplemente una medida de producto en un producto infinito.

Referencia Esta caracterización/construcción por desplazamiento de series temporales estrictamente estacionarias se menciona en el libro Teoría Asintótica para Econometristas de White.

Answer 2

Es posible considerar casos de $\omega$ siendo un punto en un espacio de dimensiones infinitas, por ejemplo, una secuencia de choques, pero tal interpretación sería improductiva, ya que entonces no se obtendrían simplificaciones en comparación con la especificación directa del proceso en un espacio de probabilidad filtrado y solo se producirían entidades adicionales no deseadas para complicar las cosas.

Este enfoque es mucho más adecuado para aplicaciones a puntos en un espacio de dimensiones finitas. Entonces, mediante este enfoque, se construirá un proceso Markoviano homogéneo en el tiempo y $\omega$ se interpretará como un punto en su espacio de estados, es decir, la posición actual del proceso, o varias posiciones anteriores. Las consideraciones sobre la interpretación de S se pospondrán hasta que se discutan ejemplos.

Desde ahora presumo que $\epsilon_t$ es una secuencia iid de variables aleatorias en el espacio de probabilidad definido en la pregunta. Entonces el segundo proceso se puede definir de la siguiente manera:

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega, $ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$ El superíndice aquí denota la aplicación múltiple del operador.

El primer ejemplo es una elaboración del primero:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2), $ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$ El subíndice aquí denota el componente respectivo del vector correspondiente.

Como hemos visto, la operación S en sí misma es bastante ambigua y difícil de interpretar razonablemente. Sin embargo, cabe destacar que define una transformación que preserva la medida y tomar una imagen bajo ella produce el conjunto con la misma medida. Así que esta función dinámica de la medida en nuestro espacio de estados en el tiempo.

Answer 3

Él solo está pensando en $\mathbb{S}$ como determinista y $\omega$ como no observable. Luego observamos $X(\omega)$ como una forma de información incompleta sobre $\omega. $\mathbb{S}$ y $X$ luego nos ayudan a deducir una distribución de probabilidad conjunta sobre $\{X_t\}_{t=0}^\infty$.