CAPM - Beta de cero y sus implicaciones en la diversificación

Question

No sé si este es el foro adecuado para hacer esta pregunta, pero ahí va. Estoy estudiando la Ciencia de la Inversión de Luenberger. La forma del modelo CAPM dado en el libro es

$$\bar{r}_i - r_f = \beta_i (\bar{r}_M - r_f)$$

Dice que si su activo tiene un $\beta$ de cero, entonces $\bar{r}_i = r_f$ . El libro dice que "La razón de este [ $\bar{r}_i = r_f$ ] es que el riesgo asociado a un activo que no está correlacionado con el mercado puede diversificarse. Si tuviéramos muchos activos de este tipo, cada uno descorrelacionado con los demás y con el mercado, podríamos comprar pequeñas cantidades de ellos, y la varianza total resultante sería pequeña."

Estoy de acuerdo con la afirmación de Luenberger, pero lo que me molesta es la parte "si tuviéramos muchos activos de este tipo". Si no los tenemos, $\bar{r}_i = r_f$ ¡sigue en pie! ¿Cuál sería entonces la explicación? ¿Hay alguna teoría detrás de CAPM que diría una declaración como la siguiente: "si existe un activo $i$ con $\beta_i = 0$ entonces existen infinitos activos con $\beta = 0$ que no están correlacionados entre sí". Es una afirmación fuerte y un tanto ridícula, pero implicaría la descripción citada de Luenberger: podría hacer una cartera con tales activos cuya varianza se aproximara a cero.

Agradecería cualquier ayuda para entender este concepto.

Answer 1

Hay una razón para ello y tiene que ver con la conexión entre diversificación y número de activos en una cartera.

Supongamos que compramos una cartera ponderada por igual de n existencias. La varianza de la rentabilidad es entonces:

$\sigma_{p}^2$ = $\sum$ $\sum$ $w_i$$ w_j $Cov($ R_i $,$ R_j$)

En la notación anterior, los sigmas se suman sobre $i$ y $j$ respectivamente cada elemento de la matriz de varianza-covarianza de los rendimientos de los activos.

Como cada peso es 1/n, entonces esta ecuación es igual a:

1/ $n^2$ * $\sum$ $\sum$ Cov( $R_i$ , $R_j$ ).

Supongamos que la varianza media de todas las acciones es $\sigma_{avg}^2$ y la covarianza media entre todos los pares de valores es $Cov_{avg}$ .

Entonces esta ecuación se simplifica a la suma de dos productos (véase Inversiones Bodie, Kane y Marcus para la derivación):

$\sigma_{p}^2$ = $(1/n)$ * $\sigma_{avg}^2$ + $[(n-1)/n]$ * $Cov_{avg}$ .

Analicemos el primer producto. A medida que aumenta el número de valores, la contribución de la varianza de los valores individuales se hace muy pequeña porque el término $(1/n)$ * $\sigma_{avg}^2$ se aproxima a cero a medida que $n$ se hace grande.

Analicemos ahora el segundo producto. Dado que la contribución de la covarianza media de las series a la varianza de la cartera es distinta de cero, porque el término $[(n-1)/n] $ * $Cov_{avg}$ tiene un límite de $Cov_{avg}$ .

Así, a medida que aumenta el número de activos, la varianza de la cartera es aproximadamente igual a la covarianza media.

En el ejemplo anterior, si hay muchos activos de este tipo, la contribución a la varianza es muy pequeña. Además, si los activos están "descorrelacionados con otros y con el mercado", el segundo término también es pequeño. Por lo tanto, la varianza es casi cero cuando se cumplen las dos condiciones señaladas por Luenberger.

He aquí una explicación más intuitiva. Una Beta de 0 no implica una varianza cero, los valores siguen teniendo riesgo idiosincrático (es decir, un componente aleatorio del rendimiento no explicado por la exposición sistemática). Una inversión sin riesgo sigue siendo menos arriesgada que un valor con una exposición beta de cero, aunque ambos tengan la misma rentabilidad esperada. Sin embargo, invertir en una gran cartera con una exposición beta de cero es mucho menos arriesgado que invertir en un único valor con una exposición beta de cero.

Añadir el término de error idiosincrático "e" a la fórmula que usted identifica capta esta idea de diversificación del riesgo residual. e" es una variable aleatoria cuya expectativa es 0, pero cuya varianza es mayor que cero. Sólo a medida que se construyen carteras más grandes, este término "e" se diversifica cada vez más (es decir, la varianza del término de error se aproxima a cero):

$$\bar{r}_i - r_f = \beta_i (\bar{r}_M - r_f) + e $$

Dicho de otro modo, si el número de valores es grande (y las ponderaciones son pequeñas), las covarianzas se convierten en el factor más importante de la varianza de la cartera. Consideremos la matriz de varianzas-covarianzas de los rendimientos de los activos. Para una cartera de "n" activos hay "n" varianzas (la diagonal) y n*(n-1)/2 covarianzas (el triángulo fuera de la diagonal). Una cartera de dos acciones tiene 2 varianzas y 1 covarianza (es decir, dominan las varianzas). Una gran cartera de 1.000 valores tiene 1.000 términos de varianza, pero 499.950 términos de covarianza (es decir, domina la covarianza).

Answer 2

En el CAPM, $E(r_i) = r_f$ si $\beta_i=0$ se mantiene SIEMPRE.

PERO: recuerde el cálculo de $\beta$ :

$\beta_i=\cfrac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2}$

y

${\sigma_{iM}}=\Sigma_jw_j\sigma_{ij}$

si su activo no está correlacionado con el resto de activos del mercado, la última expresión se simplifica a:

${\sigma_{iM}}=\Sigma_jw_j\sigma_{ij}=w_i\sigma_i^2$

por lo que para $\beta_i$ sea 0, necesitas que el peso $w_i$ sea 0, lo que implica que el activo no está en la cartera de mercado, es decir, no existe....

Pero, obviamente, cuanto menor sea el peso del activo, más se acercará $\beta_i$ llega a cero.

Así que en el caso mencionado en el libro, es como si divides un millón de dólares en un número cada vez mayor de posiciones, sí, te acercas a eso. Habría otros casos, por ejemplo, 2 acciones no correlacionadas en la cartera de mercado, una con un peso del 99,9%, y la otra tendrá una beta cercana a cero... en realidad, el resto de la cartera de mercado no importa en absoluto para un activo que no está correlacionado con nada - es sólo su peso en la cartera de mercado y su varianza lo que determina su beta.

P.D.: Por supuesto, con una correlación positiva con otros activos, la beta sería mayor. Con una correlación negativa con otros activos, la beta podría aproximarse a cero más rápidamente al reducir la ponderación, pero mientras no exista un activo o subcartera perfectamente correlacionado negativamente con $i$ la varianza no desaparecerá completamente para un peso distinto de cero. Y por último, si existe una cobertura perfecta para el activo, entonces tenemos un caso en el que tiene sentido recordar que cualquier punto de la frontera eficiente podría estar representando potencialmente más de una cartera... (recordemos que se permiten las ventas en corto)

Answer 3

Una forma posible es pensar en el Modelo de Índice Único (SIM). En este caso, si un activo $i$ no está correlacionado con el mercado, entonces no está correlacionado entre sí. Por lo tanto, la condición ".. cada uno no correlacionado con los demás y con el mercado ..." se reducen en la segunda solicitud. Recuerde que en la SIM $_i,j=_i_j^2_m$ . En este marco, si se cumplen las SIM, tenemos $r_it - r_f = a_i + _i(r_mt- r_f) + e_it$ con $a_i = 0$ para cada $i$ y $_i>0$ para la mayoría de $i$ . Exactamente para la última condición el mercado es (el único) factor de riesgo común . Así podemos tener unas existencias con $_i=0$ mientras que es imposible tener "... muchos activos de este tipo". En efecto, si tenemos muchos activos con $_i=0$ simplemente la SIM tiende a desvanecerse y al final la SIM no aguanta. O $r_it - r_f = a_i + e_it$ así $E[r_it] = a_i + r_f$ pero en equilibrio $a_i =0$ y efectivamente si tomamos en ptf tantos activos tendemos a conseguir, casi con toda seguridad, el $rf$ tarifa. Sin embargo, en la realidad, el $_(avg)$ en términos de lo sugerido por Ram Ahluwalia, nunca tienden a cero sino que, en ptf bien diversificadas, tienden a un valor positivo, y no demasiado pequeño. Por este motivo factores de riesgo comunes existen... probablemente de forma más complicada que SIM. O, en otras palabras, la diversificación no puede eliminar completamente el riesgo. O, de nuevo, muchos [ $_i=0$ Activos no puede existir . El caso en el que $_i<0$ es, un poco más complicado, pero similar.