La subaditividad dice:
$\rho(X_1+X_2) \leq \rho(X_1) + \rho(X_2)$
¿Cuál es el significado de esta condición? Puedo aceptar vagamente que se debe diversificar la cartera de inversión. O, puedo entender que $\rho(X_1+X_2)$ describe la situación de dos activos $X_1$ y $X_2$ mantenidos juntos. Entonces, ¿cuál es el significado de $\rho(X_1) + \rho(X_2)$? ¿Una persona mantiene $X_1$ y otra persona mantiene $X_2$? Estoy teniendo dificultades para interpretar el lado derecho.
Como has inferido, esto está relacionado con el concepto de diversificación como una herramienta de mitigación de riesgos.
En resumen, piensa en $\rho$ como representando alguna medida de riesgo, y $\rho(x)$ como el riesgo del activo $x$ bajo esa medida. Si la subaditividad se cumple, entonces el riesgo de mantener simultáneamente los activos 1 y 2 debe ser menor o igual a la suma de sus riesgos individuales: $\rho(x_1 + x_2) \leq \rho(x_1) + \rho(x_2)$.
Por ejemplo, la volatilidad (desviación estándar) es una medida de riesgo subaditiva. Sabemos esto intuitivamente por la diversificación: una cartera es menos volátil que la suma de sus volatilidades individuales.
En lo que se refiere a las finanzas, la subaditividad es uno de los cuatro axiomas que caracterizan las medidas de riesgo "coherentes". Esta clase de medidas de riesgo fue introducida en Artzner et al, 1998, ver la parte inferior de la página 6. Piensa en estas medidas de riesgo como aquellas con propiedades deseables que no serán subvertidas por carteras con comportamientos extraños. Es importante tener en cuenta que la subaditividad no es una afirmación de hecho -- es fácil definir medidas de riesgo que no son subaditivas -- sino más bien un axioma que las medidas de riesgo deben cumplir para ser coherentes.
Artzner describe la subaditividad de manera clara como la idea de que "una fusión no crea riesgo adicional," y enumera varios puntos prácticos que se derivan de ella. Uno interesante es que si el riesgo no fuera subaditivo, entonces una persona que quisiera exposición al activo 1 y al activo 2 estaría mejor abriendo una cuenta separada para cada activo, ya que el requerimiento de margen (basado en el riesgo) sería menor que si los tuviera ambos en la misma cuenta. (Ten en cuenta que esto se puede ver como una interpretación muy literal del lado derecho de la ecuación.)
La medida de riesgo más (in)famosa que no satisface este axioma es el VaR. El VaR de una cartera de dos activos puede ser mayor que la suma de sus VaRs individuales. Esto se debe a que el VaR es una medida basada en cuantiles; consulta el artículo de Artzner para ejemplos.
Reescribiendo la condición como
$$\rho\left({X_1+X_2 \over 2}\right) \leq {\rho(X_1) + \rho(X_2) \over 2}$$
Se puede interpretar como que un portafolio que contiene las tenencias promedio de otros dos portafolios tiene a lo sumo el riesgo del promedio de riesgo de los otros dos portafolios. No es necesario tener ningún concepto de que alguien realmente tenga alguno de los portafolios.
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