El mercado de las Estrategias de toma Encontrado por Hamilton-Jacobi-Bellman Ecuación

Question

Estoy trabajando mi camino a través del libro "Algorítmica y de Alta Frecuencia de Negociación" (AHFT) por Cartea, Jaimungal y Penalva y tengo la curiosidad de ver cómo el mercado, con un modelo exponencial de la función de utilidad se compara con el modelo similar publicado por Avelaneda y Stoikov, pero estoy teniendo algunos problemas para comprender el resultado del libro.

En ambos modelos los precios de oferta y demanda entró en el libro de órdenes se calcula a partir de un inventario dependiente de la función $\theta$ en 2 y $g(t,p)$ o $h(t,q)$ en 1.

Para mí la principal diferencia parece ser que en el papel por Una&S, este inventario dependiente de la función se expande en términos del inventario parámetro $p$. Y lo más importante de Un&S hace una aproximación lineal de la exponencial en términos de la exponencial parte de la HJB ecuación para $\theta$ (ver eq 26 en 2).

En 1 los autores nunca explícitamente calcular el inventario dependiente de la función, $h(t,q)$, pero dicen que uno puede encontrar a través de:

Sin embargo, no puedo averiguar cómo hacer que el producto entre $e^\mathbf{A}$ y $\mathbf{z}$ en el fin de calcular $\omega(t,p)$ y $h(t,q)$ para un determinado inventario de $p$.

Me puede ayudar a entender esto mejor?

Answer 1

En la terminal de tiempo $T$, la condición terminal es de $g(T, p) = -\alpha q^2$, esto implica, $$ \begin{aligned} g(T, p) &= \frac{1}{\kappa} \log{\omega(T, q)} = -\alpha q^2\\ \Rightarrow \omega(T,q) &= e^{-\kappa\alpha q^2} \end{aligned} $$ Por lo tanto, $\mathbf{z}$ está dada por, $$ \mathbf{z} = \boldsymbol{\omega(T)} = \begin{bmatrix} e^{-\alpha\kappa \bar{p}^2}\\ e^{-\alpha\kappa (\bar{q}-1)^2}\\ \vdots\\ e^{-\alpha\kappa (\underline{q}+1)^2}\\ e^{-\alpha\kappa \underline{p}^2}\\ \end{bmatrix} $$ A continuación nos centraremos nuestra atención en el plazo $e^{\mathbf{A}(T-t)}$. La matriz $\mathbf{A}(T-t)$ es un real simétrica matriz, por lo que sabemos que podemos realizar eigen-descomposición de $\mathbf{A}(T-t)$ a, $$ \mathbf{A}(T-t) = PDP^{-1} $$ con $D$ la matriz diagonal con elementos son los autovalores $\lambda_j$ y $P$ es una matriz cuyas columnas son los correspondientes vectores propios $v_j$.

Por último, utilizamos el resultado estándar, $$ \begin{aligned} e^{\mathbf{A}(T-t)} &= Pe^{D}P^{-1}\\ &=P\begin{bmatrix} e^{\lambda_1} & 0 & \ldots & 0\\ 0 & e^{\lambda_2}& \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 &\ldots & e^{\lambda_{(\bar{q} - \underline{q}+1)}} \end{bmatrix}P^{-1} \end{aligned} $$ que nos permitan trabajar la expresión final para $\boldsymbol{\omega(t)}$.