Maximización de la función de utilidad CARA: ¿solución única con un parámetro no limitado?

Question

Un inversor en el momento $t_0$ puede invertir su riqueza $w_0$ en un activo de riesgo $x$ por un importe $a$ y la parte restante en el activo sin riesgo $w_0-a$ .

Al final del período $t_1$ el inversor obtendrá la riqueza $w$ : $$ w = a(1+x)+(w_0-a)(1+r_f) =a(x-r_f)+w_0(1+r_f). $$ Utilizando una función de utilidad CARA (exponencial negativa) tenemos, $$ U(w)=-e^{-\lambda w}=-e^{-\lambda a(x-r_f)+w_0(1+r_f)} $$ donde $\lambda$ es un parámetro exógeno para el coeficiente de aversión al riesgo. Entonces, tomando su expectativa, está claro que su maximización no depende de $w_0$ que es una cantidad fija pero de $a$ , $$ \max_a\textrm{ }E[U(w)]=E[-e^{-\lambda a(x-r_f)}\times e^{w_0(1+r_f)}] $$ donde $e^{w_0(1+r_f)}$ es una cantidad fija $\tilde{q}$ , $$ \max_a\textrm{ }E[U(w)]=E[-e^{-\lambda a(x-r_f)}\times \tilde{q}] $$ Este es mi problema, $$ \max_a\textrm{ }E[U(w)]=E[-e^{-\lambda a(x-r_f)}] $$ Si $a$ es ilimitada esta función esperada no tiene punto de máximo. Va hasta el infinito. Así que $a$ debe estar acotado y depende de la restricción presupuestaria de la riqueza inicial $w_0$ . El profesor por correo me dijo que es un resultado bien conocido en finanzas y $a$ existe una solución óptima única. ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Este es el modelo canónico de "cartera" de Arrow-Pratt. Un par de puntos sobre la terminología:

1. Para una función $u$ definimos el función de aversión al riesgo por $r_u(x):=-\frac{u''(x)}{u'(x)}$ . En su función de utilidad, $r_u(x) = \lambda$ por lo tanto, es un constante utilidad absoluta de aversión al riesgo y $\lambda$ es el "coeficiente de aversión al riesgo", no el "coeficiente de aversión al riesgo".

2. Los dos puntos en el tiempo, $t_0,t_1$ puede verse como "principio de período" y "fin de período", donde "período" es aquí el intervalo de tiempo $[t_0,t_1]$ . Esto puede ser importante: no se necesita un enfoque dinámico como sugirieron algunas personas. El tipo de su problema asigna $a$ al activo de riesgo y $w_0-a$ a la sin riesgo, durante un intervalo de tiempo incluido entre $t_0$ y $t_1$ .

3. Su problema es el modelo básico y canónico de elección de cartera con utilidad sobre la riqueza final. El sujeto de tu problema sólo consume lo que tiene al final del período de tiempo. Esto también es importante tenerlo en cuenta.

4. Es "exponencial negativo", no "exponencial negativo".

5. Reescritura $w(a)$ para la riqueza final (al final del período, o al $t_1$ ); depende de $a$ es decir, la parte de $w_0$ que se invierte en el activo de riesgo. Su problema es:

$$\max_a \;E[U(w(a)] = \max_a \;E[-e^{-\lambda(x-r_f)}]$$

Dejemos que $\chi = x-r_f$ es decir, el exceso de rendimiento del activo de riesgo (en relación con el libre de riesgo). Denotemos su función de distribución por $dF(\chi)$ y por lo tanto

$$ \max_a \;E[-e^{-\lambda\chi}] = \max_a \;\int -e^{-\lambda z} dF(z)$$

Dejemos que $a^* = \arg\max_a \;E[U(w(a))]$ . Para que el óptimo (interior) se cumpla la siguiente condición $a^*$ de esta función para ser acotada (nótese la redundancia en lo que acabo de escribir):

Supuesto (I) Los valores de la variable aleatoria de exceso de rendimiento $\chi = x - r_f$ alternan en el signo, es decir $\chi$ toma valores $\underline{\chi}\leq 0 \leq \overline{\chi}$ con una probabilidad positiva.

Si $\chi$ fue positivo casi seguramente entonces $a$ es inabarcable precisamente porque el objetivo es inabarcable, como muy bien has entendido desde el principio. Por lo tanto, hay que mantener la hipótesis (I).

Confía en tu intuición: tu profesor se equivoca.

Adenda:

si $a^*\rightarrow \infty$ es decir, si la solución óptima no tiene límites, entonces el derivado de la utilidad esperada evaluada en la solución óptima es cero - y como esto no tiene ningún sentido, hay que reformularlo como

$$ \lim_{a\rightarrow\infty} E\left[\frac{d}{da}U(w(a)) \right] = 0 $$

Ahora $U$ es cóncava. Por lo tanto, para que $a^* \rightarrow \infty$ para no ser un punto crítico, hay que tener

$$ \lim_{a\rightarrow\infty} E\left[\frac{d}{da}U(w(a)) \right] <0 $$

y no positivo. Sustituya la forma paramétrica, tome la derivada y encontrará una desigualdad (estricta) que relaciona la función de distribución y la utilidad marginal en los límites.

Y como se supone que esto es una pista y no un servicio de ayuda para los deberes, tengo que parar aquí :) Ya, tenías razón en tu respuesta original, pero tienes que probar también.

Answer 2

Esto parece un modelo de equilibrio general en Economía. Debería estar descrito en la mayoría de los libros de texto de microeconomía (por ejemplo este ). Sí, aquí se necesita una restricción presupuestaria para $\ a$ De lo contrario, su problema de optimización no tiene sentido. Además, el hogar prefiere el consumo de hoy al consumo de mañana y, por lo tanto, es posible que desee mejorar su modelo descontando la utilidad del próximo período. Si quiere obtener un equilibrio (junto con el problema de consumo de los hogares), también debe considerar el problema de maximización de beneficios de la empresa.

Edición: ¿Puede indicar una referencia de dónde ha sacado este modelo? En su marco, el inversor trata de maximizar su riqueza. Naturalmente, invierte todo (utilizando el apalancamiento) para obtener el máximo rendimiento. Si quieres realizar una optimización sin restricciones, creo que tu función objetivo debería ser un poco diferente, ya que estás resolviendo un problema de optimización multiperiodo y el inversor quiere maximizar su utilidad total. Por lo general, en la teoría económica se considera un problema de optimización de 2 períodos como: $\ \mathop {\arg \max }\limits_a E[U({C_0}) + \frac{1}{{1 + DF }}U({C_1}))]\ $ , donde $\ C$ es su riqueza/consumo, $\ DF$ es el factor de descuento (el inversor prefiere la riqueza hoy, en lugar de mañana).

Answer 3

En primer lugar tu afirmación de que tu función de utilidad llega hasta el infinito es errónea. Es menos exponente. Puedes pensar en ella como un mínimo de $e^{f(x)}$ que está acotado por debajo de cero cualquiera que sea $f(x)$ es. En otras palabras, su función de utilidad está limitada por encima de 0.

Segundo Para maximizar el valor esperado, hay que calcularlo antes de aplicar las técnicas de maximización.

Como ejemplo, supongamos que $x-r_f$ se distribuye como $N(0,1)$ . Entonces $y:=-\lambda a (x-r_f)$ se distribuye como $N(-a \lambda,a^2\lambda^2)$ . Entonces, $e^y$ sigue la distribución lognormal, lo que significa que podemos buscar es decir $E(e^y)=e^{-a\lambda+\frac{a^2\lambda^2}{2}}$

Así, podemos reescribir el programa de maximización inicial como $\min_a \; [e^{-a\lambda+\frac{a^2\lambda^2}{2}}]$ . El mínimo se alcanza en $a=\frac{1}{\lambda}$ . Si tienes problemas para calcularlo, escríbelo en el comentario y escribiré los pasos