Supongamos que dada la volatilidad implícita de las citas $\widehat{\sigma}(T_i,K_j)$ de opciones call sobre un subyacente de $S$ para diferentes vencimientos $T_i$'s y huelgas $K_j$s'. Estoy interesado en el siguiente problema : ¿cuál es la "óptima" método para calcular numéricamente la familia de densidades $(\varphi_{T})_T$ donde $\varphi_{T}$ es la densidad de $S_T$, a sabiendas de que voy a ser principalmente interesados en calcular numéricamente las sumas de la forma $\int_{0}^{+\infty} f(x)\varphi_T(x)dx$, y que, para este cálculo, tiene que restringir a mí mismo para compactar los intervalos y calcular sumas de la forma $\int_{K_1}^{K_2} f(x)\varphi_T(x)dx$.
Ya tengo una herramienta de cálculo (por diversas interpolaciones), para cada vencimiento $T_i$ función $K\mapsto\widehat{\sigma}(T_i ,K)$ para todo positivo de $K$. Suponiendo por ahora que me revisión de caducidad $T$ igual a uno de los $T_i$s'. Yo podría hacer esto : primero escribe el mercado de llamada precio como neutrales al riesgo expectativa (suponiendo que por ahora constante de tipo de cambio spot) $$\textrm{Call}_0^{\textrm{Mkt.}} (T,K) = e^{-rT}\mathbf{E}^{\mathbf{P}}[(S_T-K)_{+}]$$ y se diferencian dos veces con respecto a $K$ para obtener $$\frac{\partial^2}{\partial K^2}\textrm{Call}_0^{\textrm{Mkt.}} (T,K) = e^{-rT} \varphi_T (K).$$ (Este es el Breeden-Litzenberger fórmula.) Ahora escribe el mercado de precio en función de la volatilidad implícita y el Black-Scholes llamada de precios como $$\textrm{Call}^{\textrm{Mkt.}} (T,K) = \textrm{BS}^{\textrm{Mkt.}} (T,K,\widehat{\sigma}(T_i ,K))$$ y se diferencian dos veces: usted va a obtener una expresión que es la combinación de Black-Scholes griegos evaluados en primera y segunda derivados (con respecto a $K$) de $K\mapsto\widehat{\sigma}(T_i ,K)$. Podemos utilizar esto para calcular $\varphi_T (K)$ para varios $K'$ y, a continuación, utilice estos valores para calcular numéricamente $\int_{K_1}^{K_2} f(x)\varphi_T(x)dx$, después de haber "de alguna manera", seleccionados de los límites correctos $K_1$ y $K_2$.
Este método en realidad no me convence, especialmente en lo que se deja "fuera" el problema de la elección de $K_1$ y $K_2$, que es altamente 1) no trivial y 2) especulativos, ya que se basa en interpolaciones y alas extrapolaciones utilizado para obtener $K\mapsto\widehat{\sigma}(T_i ,K)$, y puede conducir a una subestimación de $S_T$'s de la distribución de la cola , etc.
Estoy realmente seguro de que este método es incluso el que los profesionales están utilizando en el momento, a continuación, a la necesidad de extraer las densidades de las volatilidades implícitas (y a integrar funciones en contra de estas densidades.) Supongo que los métodos paramétricos son más adecuados para este, que conducen a mi pregunta : ¿qué tipo de se dispone de otros métodos (paramétrico o no) y que uno es el "estándar", que es utilizado por los practicantes ?
Precisión : estoy usando esto en el siguiente contexto : tengo por ejemplo EURUSD y GBPUSD las volatilidades implícitas de las citas por, digamos, un mismo vencimientos, entonces yo uso interpolación para producir sonrisa funciones para cada vencimiento de cada par de divisas, a partir de la cual extraigo dos densidades, y el uso de una función de cópula, tengo una densidad de cruz-par de divisas EURJPY, que puedo usar para que el precio de las llamadas en el EURGBP y, a continuación, para producir un par EURGBP la volatilidad implícita de la superficie. (es el clásico problema consiste en conseguir que los precios de las opciones sobre un ilíquidos par de divisas conocer las opciones de los mercados de dos relacionadas con el "marginal" líquido pares de divisas.)
