Estoy buscando una prueba matemática en términos de la diferenciación de la BS ecuación para calcular el Delta y luego probarlo de que ATM delta es igual a 0.5. He visto muchos libros citando delta de la ATM opción de compra es de 0,5, con explicaciones como la probabilidad de terminar en el dinero es de 0,5, pero estoy en busca de una prueba matemática.
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Su pregunta no está muy bien formulado, ya que no especifica el momento en el que el delta es igual a 0.5. Lo que se reclama es, de hecho, sólo es cierto para un CAJERO automático opción de llamada en el momento de la madurez.
En el modelo Black-Scholes el precio de una opción de compra sobre el activo S con precio de ejercicio de $K$ y tiempo de madurez $T$ es igual a
$$c(t,S(t),K,T) = S(t)\Phi\left(\frac{\ln\frac{S(t)}{K} + \left(r+\frac{\sigma^2}{2} \right)\tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \derecho) - Ke^{-i \tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{S(t)}{K} + \left(r-\frac{\sigma^2}{2} \right)\tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \right)$$
donde $r$ es la tasa libre de riesgo, $\sigma$ la volatilidad y $\tau = T-t$. El "delta" en el modelo Black-Scholes es
$$\Delta(t,S(t),K,T) = \frac{\partial c}{\partial S}(t,S(t),K,T) = \Phi\left(\frac{\ln\frac{S(t)}{K} + \left(r+\frac{\sigma^2}{2} \right)\tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \derecho)$$
En el caso de un en el dinero de la llamada opción tenemos $K=S(t)$ lo que significa que tenemos
$$\ln\frac{S(t)}{K} = \ln(1) = 0$$
y nos quedamos con
$$\Delta(t,S(t),S(t),T) = \Phi\left(\frac{\left(r+\frac{\sigma^2}{2} \right)\tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \right)$$
Esta expresión equivale a $0.5$ cuando $\tau = 0$, que es cuando $t=T$. Esto es debido a que $\Phi(x)=0.5$ si y sólo si $x=0$.
Espero que esto les ayude a entender. De lo contrario, no dude en preguntar de nuevo!
scottishwildcat
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146
Si usted mira la BS fórmula como se encuentran por ejemplo en la wikipedia recta hacia adelante diferenciación de la llamada precio le da a la llamada del Delta.
Usted encontrar la fórmula para el Delta en la página de la wikipedia en "Los Griegos". $\Delta=\Phi(d_1)$ donde $\Phi$ es el estándar normal de cdf y $d_1$ está dada por
$$d_1 = \frac{\ln(\frac{S}K)+(r+\frac{\sigma^2}2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T t}}$$
donde puedo asumir que todos los parámetros son claras. También puedes encontrar en wikipedia. Si $d_1=0$, entonces $\Phi(d_1)=\frac12$ por la definición de la normal de cdf.
Cuando la gente se refiere a los CAJEROS automáticos de las opciones de tener 50 delta, por lo general significa ATMF, o el dinero adelante, dada por $$S=Ke^{-r(T-t)}$$ Tenga en cuenta que a veces los precios forward se derivan de put-call parity. A continuación, el precio a futuro puede ser diferente)
Por lo tanto, cuando el stock es ATMF, $\ln(\frac{S}K)+r(T-t) = 0$, pero los términos con sigma permanecen. En este caso $d_1$ es muy pequeña, pero no es exactamente cero, y $\Delta$ está cerca de 1/2.
dr-jan
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673
Dado que las pruebas matemáticas ya se han dado anteriormente, permítanme subrayar la intuitiva aspectos de la misma.
Si utiliza un modelo normal, entonces usted va a encontrar que la delta de una opción CAJERO automático es igual a 50%, y al mismo tiempo, la probabilidad de acabar con el ITM (in the money) es también del 50%.
Ahora, con un modelo lognormal, hay una diferencia entre la probabilidad y el delta. La razón es en realidad muy simple. Imagine que usted ejecute un Montecarlo para calcular el delta de un CAJERO automático opción de llamada. Dices que tienes alrededor de la mitad de los caminos que terminan por encima de la huelga, y la mitad de abajo. Entonces es claro que, si se va a ejecutar el Montecarlo, pero a partir de un poco más irregular (por ejemplo, 1% debido a que se desea calcular la delta para que 'golpe' el lugar), a continuación, a grandes rasgos
- todos los caminos que terminó por debajo de la huelga en el original MC probablemente la va a terminar por debajo en el chocó MC. Así que, para ellos, el pago de la opción es igual.
- para aquellos caminos que terminó en el dinero, dado que su sitio original, es un 1% mayor, lo que significa que la simulación lugar es también un 1% más alto, pero que el 1% si obviamente mayor que el 1% de lugar, debido a la simulación de la mancha es ITM. Así que para estos la rentabilidad es mayor en más de 1% de la mancha.
Si se combinan los 2 puntos anteriores, el impacto en el precio de golpes en lugar de hasta el 1% va a ser 50% x 0 + 50% x (algo > 1% ), por lo que el delta es mayor que la probabilidad de acabar con el ITM. Incluso se puede ver que el "algo" es en sí mismo muy ligada a que el valor actual de la opción de llamada.
Obviamente esta relación funciona independientemente de si la opción es de CAJERO automático o no.
Miha
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1
Primero de todo, aunque se puede leer en muchos lugares, $\Delta_{Call} = \Phi(d+)$ no es la probabilidad de terminar ITM. Por dos razones:
- se calcula bajo el riesgo de probabilidad neutral. No es el histórico.
- incluso bajo el riesgo neutral probabilidad $Q(S_T>K) = \Phi(d-)$ no $d+$.
En el BS modelo bajo la histórica probabilty $P(S_T>K) = P(S_te^{(\mu\sigma^2/2)(T-t)+\sigma(W_T-W_t)} > K) = \Phi\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{T t}}(\log(S_t/K) + (\mu\sigma^2/2)(T-t))\right)$. Básicamente, usted recibe $\Phi(d-)$ pero con el real drift $\mu$ en lugar de la tasa libre de riesgo.
Entonces, ¿qué hace el Delta realmente parece? Como se explicó: $$ \Delta_{Call} = \Phi(d+) = \Phi\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{T t}}(\log(S_te^{r(T-t)}/K) + \sigma^2(T-t)/2))\derecho) $$ Así que si usted está ATMF es decir, $S_te^{r(T-t)} = K$, a continuación, el registro de plazo cancela: $$ \Delta_{Call}^{ATMF} = \Phi\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T t}\derecho) $$ En particular, la volatilidad término es positivo por lo que $\Delta_{Call}^{ATMF} > 0.5$. A continuación, podemos hacer un primer orden de aproximación: $$ \Delta_{Call}^{ATMF} = \Phi\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T t}\derecho) \approx \Phi(0) + \Phi'(0)\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T t} \aprox 0.5 + 0.2\sigma \sqrt{T t}. $$ desde $\Phi'(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.4$. Así que usted tiene un buen simple aproximación para el Delta de un ATMF Llamada.
PS: Usted debe preguntarse ¿qué sucede cuando $\sigma \to \infty$.
Edward Tanguay
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190
tengo un muy interesante respuesta.. claramente delta de un CAJERO automático de la llamada es de aproximadamente 0.5 en BS ajuste, ya que podemos hacer una expansión en series de taylor de N(d1) = 1/2 + 1/raíz(2pi) *d1 que va a 1/2 en la madurez..suponiendo que r=q=0
pero por encima de es un modelo dependiente de resultado...se supone registro de la distribución normal en el precio de las acciones..
un modelo independiente del resultado.... en la madurez...sabemos delta es 1 o 0 dependiendo de si el stock es ITM o OTM.. Pero delta = - dc(T)/dk...que es una digital...y esto puede ser replicado por 1/2dk de la cartera de llamada se propaga...en la madurez...la llamada propagación valor es de 1/2...
