Derivando la definición de las integrales estocásticas con respecto a Ito de los procesos a partir de primeros principios

Question

Cuando encontré por primera vez la definición de las integrales con respecto a los procesos de Ito (Shreve del Cálculo Estocástico para Financiar Vol II), no lo pensé dos veces. Sin embargo, quería ver si la definición de derivada.

En el resto de este post $\bar{f}$ tal que $\bar{f}'=f$ y $t_{j}^{f}$ tal que $t_{j}\leq t_{j}^{f}\leq t_{j+1}$ de acuerdo a la media-teorema del valor de algún proceso $f$.

Considerar el proceso de $$X(t)=X(0)+\int_{0}^{t}\Delta(u)\;dW(u)+\int_{0}^{t}\Theta(u)\;du$$ donde los procesos $\Theta_{t}(\omega)$ y $\Delta_{t}(\omega)$ están adaptados para el movimiento Browniano $W_{t}(\omega)$. Entonces, si $\Gamma_{t}(\omega)$ se adapta a $X_{t}(\omega)$, definimos $$\int_{0}^{t}\Gamma(u)\;dX(u)=\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Delta(u)\;dW(u)+\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\;du,$$ que es, por supuesto, lo que sería de esperar por escrito (formal)

$$\int_{0}^{t}\Gamma(u)(\Delta(u)\;dW(u)+\Theta(u)\;du)=\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Delta(u)\;dW(u)+\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\;du.$$

Parece que esta debe ser derivable (más fácilmente) a partir de la definición original de la Ito estocástico integral. Sin embargo, cuando traté de hacer esto, me ha fallado:

$$\begin{align*} \int_{0}^{t}\Gamma(u)\;dX(u)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\left(\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Theta(u)\;du\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Theta(u)\;du\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})(\bar{\Theta}(t_{j+1})-\bar{\Theta}(t_{j}))\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\Theta(t_{j}^{\Theta})(t_{j+1}-t_{j})\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\;du. \end{align*}$$ donde $t_{j}\leq t_{j}^{\Theta}\leq t_{j+1}$ y $\bar{\Theta}'=\Theta.$

En este punto parece que nada se puede hacer con la primera suma, ya no tenemos una media-teorema del valor de Ito estocástico integrales (cuantificada por el lema de Ito); es decir, no hay, en general, existe un $t_{j}^{\Delta}\in[t_{j},t_{j+1}]$ que $$\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)=\Delta(t_{j}^{\Delta})(W(t_{j+1}-W(t_{j})).$$

Y, en cualquier caso, realmente no importa, ya que, aunque hemos tenido este resultado, es que no se conoce a priori si la suma resultante converge (o si converge a la correcta estocástico integral), debido a la sensibilidad de la limitación de las sumas con respecto al punto de muestreo utilizado.

Para obtener más concreto, el sentido de la dificultad, considere el caso especial, $\Delta(u)=f(W(u))$.

Entonces $$\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)=\bar{f}(W(t_{j+1}))-\bar{f}(W(t_{j}))-\frac{1}{2}\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}f'(W(u))\;du,$$

y la primera suma se convierte en $$ \begin{array}{l} \lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\left(\bar{f}(W(t_{j+1}))-\bar{f}(W(t_{j}))-\frac{1}{2}\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}f'(W(u))\;du\right)\\ \;\;\;\;=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\left(\bar{f}(W(t_{j+1}))-\bar{f}(W(t_{j}))\right)-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\left(\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}f'(W(u))\;du\right)\\ \;\;\;\;=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})f(W(t_{j}^{f}))(W(t_{j+1})-W(t_{j}))-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})f'(W(t_{j}^{f'}))(t_{j+1}-t_{j})\\ \;\;\;\;=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\Delta(t_{j}^{f})(W(t_{j+1})-W(t_{j}))-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\Gamma(u)f'(W(u))\;du.\end{array} $$

Poner esto juntos rendimientos

$$\int_{0}^{t}\Gamma(u)\;dX(u)=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\Delta(t_{j}^{f})(W(t_{j+1})-W(t_{j}))-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\Gamma(u)f'(W(u))\;du+\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\;du,$$ y es difícil ver cómo esto termina siendo igual a la definición original.

Uno tendría que de alguna manera muestran que la media del valor de muestreo de $\Delta(t_{j}^{f})$ en el primer suma de los resultados en

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\Delta(t_{j}^{f})(W(t_{j+1})-W(t_{j}))=\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Delta(u)\;dW(u)+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\Gamma(u)f'(W(u))\;du.$$

Y, en cualquier caso, esto es sólo un caso especial del proceso $\Delta_{t}(\omega)$.

No tengo ninguna duda de que el problema pueda ser resuelto analíticamente; sin embargo, mientras que las dificultades no resueltas, que tiende a hacer (en mi mente) de la definición de algo artificial.

Answer 1

Permítanme comenzar con su última ecuación. Hay, sólo tropezó en una aplicación de Wong-Zakai de descomposición: http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177699916

Básicamente dice que si una secuencia de procesos $( M_n )$ converge débilmente a una martingala $M$, entonces la secuencia de los procesos, $ t \mapsto \int_0^t \Gamma(s)dM_n(s) $ converge débilmente a los proceso $ t \mapsto \int_0^t \Gamma(s)\circ dM_n(s)$, donde $\circ$ es la integral de Stratonovich (que es Ito integral, además de una ecuación cuadrática de la variación de la corrección). En su caso, la aproximación de proceso con ser hecho para ser $M_n(t) = \Delta(t_j^f) W(t)$, $t \in [(t_j, t_{j+1})$, donde $( t_j ) $ es un uniforme de partición en $n$ intervalos disjuntos de $[0,t]$ y $t_j^f$ es como se define (que dependens en $n$ ).

Habiendo dicho que la construcción de la integral estocástica de los primeros principios comienza por darse cuenta de que no hay camino sabio enfoque puede ser aplicado y, por tanto, el estudio de la convergencia en la $L^2$ sentido. Esta es estándar y puede ser encontrado para exempla en la Karatzas & Shreve estocástico de la integración y el Movimiento Browniano libro, o un enfoque diferente puede ser encontrado en el concepto de Integración del libro de Philip Protter.

Answer 2

Ito integrales difieren en su complejidad dependiendo de la función que deseas integrar. Vamos a hablar de la más simple pero potente versión de la mencionada, por Innombrabre, para integrands de la $L^2$ el espacio.

En general, se puede pensar en el procedimiento de la siguiente manera. Tiene dos espacios métricos $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$. Deje que $A$ es un subconjunto de la "simple" elementos de $X$ para que fácilmente se puede definir una función $f$. Si $f$ es de Lipschitz, a continuación, cada secuencia de Cauchy $x_0,x_1,\dots$ en $X$ genera una secuencia de Cauchy $y_0,y_1,\dots$ a $Y$ donde $y_i = f(x_i)$. Como resultado, si se define de $f$ en $Un$ entonces usted puede gratis continuamente se extienden a $\bar Un$. Por otra parte, todavía estancia de Lipschitz.

En el caso de que $X$ es el camino de espacio, y $Y$ es el espacio de variables aleatorias, $Un$ son simples (piece-wise constante) caminos y $f$ es la integral de Ito.