Cuando encontré por primera vez la definición de las integrales con respecto a los procesos de Ito (Shreve del Cálculo Estocástico para Financiar Vol II), no lo pensé dos veces. Sin embargo, quería ver si la definición de derivada.
En el resto de este post $\bar{f}$ tal que $\bar{f}'=f$ y $t_{j}^{f}$ tal que $t_{j}\leq t_{j}^{f}\leq t_{j+1}$ de acuerdo a la media-teorema del valor de algún proceso $f$.
Considerar el proceso de $$X(t)=X(0)+\int_{0}^{t}\Delta(u)\;dW(u)+\int_{0}^{t}\Theta(u)\;du$$ donde los procesos $\Theta_{t}(\omega)$ y $\Delta_{t}(\omega)$ están adaptados para el movimiento Browniano $W_{t}(\omega)$. Entonces, si $\Gamma_{t}(\omega)$ se adapta a $X_{t}(\omega)$, definimos $$\int_{0}^{t}\Gamma(u)\;dX(u)=\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Delta(u)\;dW(u)+\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\;du,$$ que es, por supuesto, lo que sería de esperar por escrito (formal)
$$\int_{0}^{t}\Gamma(u)(\Delta(u)\;dW(u)+\Theta(u)\;du)=\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Delta(u)\;dW(u)+\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\;du.$$
Parece que esta debe ser derivable (más fácilmente) a partir de la definición original de la Ito estocástico integral. Sin embargo, cuando traté de hacer esto, me ha fallado:
$$\begin{align*} \int_{0}^{t}\Gamma(u)\;dX(u)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\left(\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Theta(u)\;du\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Theta(u)\;du\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})(\bar{\Theta}(t_{j+1})-\bar{\Theta}(t_{j}))\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\Theta(t_{j}^{\Theta})(t_{j+1}-t_{j})\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\cdot\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)+\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\;du. \end{align*}$$ donde $t_{j}\leq t_{j}^{\Theta}\leq t_{j+1}$ y $\bar{\Theta}'=\Theta.$
En este punto parece que nada se puede hacer con la primera suma, ya no tenemos una media-teorema del valor de Ito estocástico integrales (cuantificada por el lema de Ito); es decir, no hay, en general, existe un $t_{j}^{\Delta}\in[t_{j},t_{j+1}]$ que $$\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)=\Delta(t_{j}^{\Delta})(W(t_{j+1}-W(t_{j})).$$
Y, en cualquier caso, realmente no importa, ya que, aunque hemos tenido este resultado, es que no se conoce a priori si la suma resultante converge (o si converge a la correcta estocástico integral), debido a la sensibilidad de la limitación de las sumas con respecto al punto de muestreo utilizado.
Para obtener más concreto, el sentido de la dificultad, considere el caso especial, $\Delta(u)=f(W(u))$.
Entonces $$\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\Delta(u)\;dW(u)=\bar{f}(W(t_{j+1}))-\bar{f}(W(t_{j}))-\frac{1}{2}\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}f'(W(u))\;du,$$
y la primera suma se convierte en $$ \begin{array}{l} \lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\left(\bar{f}(W(t_{j+1}))-\bar{f}(W(t_{j}))-\frac{1}{2}\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}f'(W(u))\;du\right)\\ \;\;\;\;=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\left(\bar{f}(W(t_{j+1}))-\bar{f}(W(t_{j}))\right)-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\left(\int_{t_{j}}^{t_{j+1}}f'(W(u))\;du\right)\\ \;\;\;\;=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})f(W(t_{j}^{f}))(W(t_{j+1})-W(t_{j}))-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})f'(W(t_{j}^{f'}))(t_{j+1}-t_{j})\\ \;\;\;\;=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\Delta(t_{j}^{f})(W(t_{j+1})-W(t_{j}))-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\Gamma(u)f'(W(u))\;du.\end{array} $$
Poner esto juntos rendimientos
$$\int_{0}^{t}\Gamma(u)\;dX(u)=\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\Delta(t_{j}^{f})(W(t_{j+1})-W(t_{j}))-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\Gamma(u)f'(W(u))\;du+\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\;du,$$ y es difícil ver cómo esto termina siendo igual a la definición original.
Uno tendría que de alguna manera muestran que la media del valor de muestreo de $\Delta(t_{j}^{f})$ en el primer suma de los resultados en
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{j\in\Pi_{n}}\Gamma(t_{j})\Delta(t_{j}^{f})(W(t_{j+1})-W(t_{j}))=\int_{0}^{t}\Gamma(u)\Delta(u)\;dW(u)+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\Gamma(u)f'(W(u))\;du.$$
Y, en cualquier caso, esto es sólo un caso especial del proceso $\Delta_{t}(\omega)$.
No tengo ninguna duda de que el problema pueda ser resuelto analíticamente; sin embargo, mientras que las dificultades no resueltas, que tiende a hacer (en mi mente) de la definición de algo artificial.
