Consumo óptimo en una economía con una serie de productos básicos

Question

Considere una economía con una serie de productos básicos, con un producto para cada punto en $[0,1]$.

Supongamos que un consumidor quiere maximizar $$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$$ sujeto a $$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$$ donde $c_i$ es el monto de la $i$-th productos que se consumen, $p_i$ su precio y $M$ el dinero de los consumidores de ingresos.

Este tipo de problema se presenta por ejemplo en la aplicación de las Dixit-Stiglitz modelo a la macroeconomía o de comercio internacional.

La solución a este problema es supuestamente $$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$$ donde $A$ es una constante elegido para asegurarse de que la restricción presupuestaria está satisfecho.

No estoy muy satisfecho con los resultados de este resultado que el uso de multiplicadores de Lagrange en analogía con el caso de un número finito de productos básicos. Lo que sería un completo matemáticamente riguroso método de derivar el resultado anterior?

Parece claro que no hay una única solución, ya que arbitrariamente cambiar los valores de $c_i$ para un número finito de valores de $i$ dejará las integrales en la función de utilidad y la restricción presupuestaria, sin cambios. Estoy esperando que un completamente riguroso derivación también correctamente localización en este grado de nonuniqueness.

EDIT: En respuesta a los comentarios de @BKay, @Omnipresente. Mi problema con la opción de comenzar con las economías con $n$ materias primas y tomando el límite cuando $n \to \infty$, es que esto debe ser acompañado por un argumento que muestra que el límite de optima es una óptima del problema de límite. Agradecería una referencia a un resultado que muestra que esta bien para este problema en particular o de un resultado general que es aplicable a este problema.

En respuesta a @AlecosPapadopoulos. Las pruebas de la Langrange multiplicador método que se enseña en matemáticas para los cursos de economía es por lo general para un número finito de variables. Agradecería una referencia al lugar donde el método se justifica en un proceso continuo de selección de variables. También, el nonuniqueness se menciono anteriormente muestra que el método no puede ser exactamente a la derecha. Entonces, ¿qué son exactamente los requisitos necesarios para su validez?

Answer 1

Como el OP, señaló en un comentario, Teorema 1 en la sección 12 de Kolomogorov y Fomin del Cálculo de Variaciones parece proporcionar una cierta comodidad que podemos, de hecho, utilizar el Langrange Multiplicador método cuando el número de variables es infinito. Aún así, los autores que en una nota a pie de página, de la escritura ", el lector podrá reconocer fácilmente la analogía con Langrange multiplicadores". Así que no, esto no rigurosamente mostrar lo que queremos.

Creo que lo que necesitamos es un papel como Craven, B. D. (1970). Una generalización de los multiplicadores de Lagrange. Boletín de la Australiana Matemática de la Sociedad, 3(03), 353-362. que en su resumen escribe:

El método de multiplicadores de Lagrange para resolver un limitado estacionaria del problema de valor es generalizada para permitir las funciones a tomar los valores en espacios de Banach arbitrarios (en el ámbito real). El conjunto de Multiplicadores de Lagrange en un finito-dimensional del problema se muestra a sustituido por un continuo lineal de asignación entre los Banach espacios.

Esta es la matemática-habla, sino que dice lo que queremos oír (también se puede encontrar una breve exposición en la wikipedia, al grado en que confía en el contenido).

Entonces, podemos formar la Lagrangean del problema

$$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$$

y calcular el primer orden de condición(s), informalmente hablando, "buscando en la integral y viendo una suma",

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \etiqueta{1}$$

...un continuo de condiciones. Para un uso posterior definimos

$$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$$

La constante $\sigma$ puede ser demostrado ser la elasticidad de sustitución entre dos bienes.

Escrito $(1)$ de los $j$ e igualando a través de la común multiplicador de lagrange llegamos a

$$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\derecho)^{-\sigma}c_j \etiqueta{2}$$

Multiplicar ambos lados por $p_i$ y tomar la integral sobre la commmodity espacio con respecto a $i$:

$$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\derecho)^{-1} \etiqueta{3}$$

que es Marshallian la demanda de productos básicos $j$.

Answer 2

Esto es sólo una elaboración de la respuesta dada por @user157623. Estoy poniendolo como un wiki de la comunidad para su comodidad.

Teorema 1 de la Sección 12 de la prueba de Kolmogorov y el Fomin del Cálculo de Variaciones dice

Dada la funcional $$J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$ vamos a la admisible curvas de satisfacer las condiciones $$y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$$ donde $K[y]$ es otra funcional, y dejar $J[y]$ tiene un extremo para $y=y(x)$. Entonces, si $y=y(x)$ es no un extremal de $K[y]$, existe una constante $\lambda$ que $y=y(x)$ es un extremal de la funcional $$\int_a^b F+\lambda G)\,dx,$$ es decir, $y=y(x)$ satisface la ecuación diferencial $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\derecho)=0.$$

Podemos intentar aplicar este teorema para nuestro problema tomando $x$ en $i$, $c$ a $y$, $F(i,c,c')=c^\theta$ y $G(e,c,c')=pc$.

Luego de la final de la ecuación diferencial en el teorema se convierte en $$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$$ que es precisamente lo que necesitamos.

Es el teorema es aplicable? Nuestra $K[y]$ es lineal, por lo que no puede tener un extremal, por lo que el requisito de no tener un extremal es fácilmente satisfecho. Las condiciones de frontera en $y(una)$ y $y(b)$ no importa ya que si una ruta de acceso de $c$ decir $c^*(i)$, es extremal sin ningún tipo de condiciones de contorno, entonces es extremal en el conjunto $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$.

La única pega está en la naturaleza del teorema de sí mismo. Da las condiciones necesarias para un óptimo. Dado que en nuestro caso la condición necesaria da un resultado único, todo lo que tenemos que hacer es suficiente para argumentar que nuestro problema tiene una solución.

Las pruebas de Kolmogorov-Fomin asumir que las funciones que estamos tratando con tienen primeras derivadas continuas. Así que todavía tenemos que mostrar que el consumidor del problema tiene una óptima en esta clase de funciones, pero dado que el problema está resuelto.

Answer 3

El completamente riguroso cosa sería escribir de Euler lagrange ecuación de este cálculo de variaciones problema, esto le dará una solución fuerte de que es lo que tienes o una solución débil de lo que está escrito con respecto a una distribución.