¿Cómo afecta la volatilidad de afectar el precio de las opciones binarias?

Question

En teoría, ¿cómo debe la volatilidad de afectar el precio de una opción binaria? Una típica la opción de dinero tiene más valor extrínseco y por lo tanto la volatilidad juega mucho más notable factor. Ahora digamos que usted tiene una opción binaria precio en .30 como la gente no cree que tendrá el valor de 1.00 en el momento del vencimiento. ¿Cuánto cuesta la volatilidad afecta a este precio?

La volatilidad puede ser alto en el mercado, al inflar el precio de todos los contratos de opciones, pero las opciones binarias se comportan de manera diferente? No he mirado en cómo se ven afectadas en la práctica, sin embargo, sólo mirando a ver si iban a ser diferentes en la teoría.

También, el CBOE archivos binarios sólo están disponibles en la volatilidad de los índices, por lo que se hace un poco redundante tratando de determinar cuánto el "valor" de la volatilidad que afecta el precio de binario opciones sobre la volatilidad.

Answer 1

El precio de una opción binaria, ignorando las tasas de interés, es básicamente el mismo que el CDF $\phi(S)$ (o $1-\phi(S) de$ ) de la terminal de distribución de probabilidad. En general la terminal de distribución logarítmica normal desde el modelo Black-Scholes, o cerca de ella. Precio de la opción es

$$C = e^{-rT} \int_K^\infty \psi(S_T) dS_T$$

para las llamadas y

$$ P = e^{-rT} \int_0^K \psi(S_T) dS_T$$

para la pone.

La volatilidad se amplía la distribución y, bajo el modelo Black-Scholes, cambia su modo un poco. Hablando en general, el aumento de la volatilidad se

• Aumentar la densidad en la "rentabilidad de la región" para fuera-de-la-opciones de dinero, aumentando así su valor teórico. Asumiendo que su opción era la pena 0.30 debido a las probabilidades y no de alto riesgo de las tasas de interés libres $ r $, más volatilidad aumentará su valor.

• Aumentar la densidad en el "no-rentabilidad de la región" para en-el-dinero opciones, por lo que la disminución de su valor teórico. Ahora una opción que vale la pena 0.70 va a perder valor, como la probabilidad de acabar fuera de la rentabilidad de la región es mayor.

Como la volatilidad de los $\sigma$ enfoques $ \infty $, opción todos los precios convergen hacia 0 por llamadas y 1 para la pone. En Black-Scholes de la tierra, aunque el término $ \frac{\log(S_0/K)}{\sigma \sqrt{T}} \to 0$ y la distribución de probabilidad es la difusión de todo el camino hasta el infinito en los positivos como los negativos lado de la exponencial de su distribución, se concentra lognormally en valores menos que cualquier finito huelga.

Por lo tanto, fuera-de-la-dinero llama tomará un valor máximo a los efectos de la volatilidad que se concentra tanto la probabilidad como sea posible por debajo de la huelga antes de concentrarse en la distribución demasiado cerca de cero.

Edit: Un enorme agradecimiento a @Veeken a señalar que es out-of-the-money llamadas, en lugar de lo que pone, que toman un máximo valor teórico.

Answer 2

todos los de la volatilidad de los efectos en una opción binaria golpeado en la 105 con un dólar de recompensa son aproximadamente de la misma como la volatilidad de los efectos sobre la siguiente cartera de opciones:

100 de la 104.99 llamadas / largo de 200 de los 105 llamadas / 100 de la 105.01 llamadas

Answer 3

Tengo una prueba matemática sin gráficos o imágenes. Supongamos que $r=0$, lo que queremos es ver qué sucede si la volatilidad de los cambios en $E^Q[1_{S_T>K}]$.

La última cantidad es $Q(S_T>K)=P(\log S_T > \log K)$.

Bajo P, sabemos que $S_T=S_0 \exp\left(-\frac12 \sigma^2 + \sigma W_T\right)$, por lo que $\log S_T$ se distribuye como $ N(\log S_0 -\frac12\sigma^2, \sigma^2 T)$.

Así que podemos escribir $Q\left(\sigma \sqrt{T} N + \log(S_0) -\frac12 \sigma^2T > \log K\right)$ lo que equivale a $ Q\left(N>\frac{\log{\frac{K}{S_0}}+\frac12 \sigma^2}{\sigma \sqrt T}\derecho). $

Dado que $f(y)=P(N>y)$ disminuciones $y$, es suficiente para el estudio de $y=y(\sigma)=\frac{\log{\frac{K}{S_0}}+\frac12 \sigma^2}{\sigma \sqrt T}$.

Si $K>S_0$ (fuera del dinero), entonces, si $\sigma \to 0$, $y(\sigma)\a +\infty$, y lo mismo sucede si $\sigma \a +\infty$. Por lo tanto, no es de un mínimo de $\sigma=\sqrt{\log{\frac{K}{S_0}}}$. Podemos deducir (por continuidad) que $f(s(0))=0$, $f(y(+\infty))=0$, y tenemos un máximo de $\sigma=\sqrt{\log{\frac{K}{S_0}}}$.

Y si en vez de $K<S_0$ (en la opción de dinero), $\sigma \to 0$ da $-\infty$, $\sigma\to \infty$ da $\infty$ y la función $y(\sigma)$ es estrictamente creciente. Por lo que $f(s(0))=1$, $f(y(+\infty))=0$ y $f$ es estrictamente decreciente.

Por último, para una en la opción de dinero $S_0=K$, tenemos $f(y)=Q\left(N > \frac12 \sigma \sqrt T\right)$, entonces $f(0)=\frac 12$ y $f$ estrictamente disminuye hasta el valor de $0$.

Espero que esto ayude.