Solución de la SDE de difusión de salto de Merton

Question

En muchos libros de texto y también en el documento original de Merton la solución de la SDE

$$dS_t = S_t\,\mu\,dt+S_t\,\sigma\,dW_t+S_{t^-}\,d\left(\sum_{j=1}^{N_t}V_j-1\right)$$

se escribe como

$$S_t = S_0\,\exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2}\,\sigma^2\right)\,t+\sigma\,W_t\right)\,\prod_{j=0}^{N_t}V_j.$$

¿Puede alguien sugerirme un libro de texto o un artículo donde se derive explícitamente la solución? Estoy bastante seguro de que se trata de una aplicación del lema de Ito para el semimartingale.

Answer 1

Dejemos que $$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t + S_{t^-} dJ_t$$ donde $$J_t = \sum_{j=1}^{N_t} (V_j - 1)$$ es un proceso de Poisson compuesto, con $V_j$ tamaños de salto i.i.d. (variables aleatorias positivas) cuyas propiedades estadísticas no son relevantes para lo que hay que demostrar y $N_t$ un proceso estándar de Poisson de intensidad $\lambda$ . Los procesos $W_t$ , $N_t$ y los tamaños de los saltos aleatorios $V_j$ se suponen independientes entre sí y definidos sobre el mismo espacio de probabilidad.

Aplicando la fórmula de Itô para semimartingales con saltos a la función $f(t,S_t) = \ln(S_t)$ rendimientos (ver aquí ) $$\ln(S_t) = \ln(S_0) + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t + \int_0^t ( \ln(S_u) - \ln(S_{u^-}) )dN_u$$ De la SDE tenemos entonces que, en un momento de salto $u$ $$S_u - S_{u^-} = S_{u^-} (V_j - 1) \iff S_u = S_{u^-} V_j$$ tal que $$\ln(S_u) - \ln(S_{u^-}) = \ln\left(\frac{S_u}{S_{u^-}}\right) = \ln(V_j)$$ y por lo tanto $$\ln(S_t) = \ln(S_0) + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t + \sum_{j=1}^{N_t} \ln(V_j)$$ Por último, porque $$\sum_{j=1}^{N_t} \ln(V_j) = \ln \left( \prod_{j=1}^{N_t} V_j \right)$$ obtenemos \begin {align} S_t &= S_0 \exp \left ( \left ( \mu - \frac { \sigma ^2}{2} \right ) t + \sigma W_t \right ) \prod_ {j=1}^{N_t} V_j \\ &= F(0,t) \mathcal {E}( \sigma W_t) \prod_ {j=1}^{N_t} V_j \end {align} con $\mathcal{E}(X_t) := \exp(X_t - 1/2 \langle X \rangle_t)$ denotando la exponencial estocástica de un proceso $X_t$ (exponencial de Doléans-Dade).

Más información sobre los procesos de salto (y un mejor tratamiento matemático porque lo que escribí no siempre es riguroso) en este excelente documento

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Tenga en cuenta que porque \begin {align} E_0[S_t] &= F(0,t) E_0 \left [ \prod_ {j=1}^{N_t} V_j \right ] \\ & \ne F(0,t) \end {align} la dinámica anterior no puede utilizarse para la fijación de precios neutrales al riesgo .

Para obtener un marco de riesgo neutro adecuado, el proceso de Poisson compuesto debe obtener compensado por un término de deriva (para que el conjunto surja como una martingala). La SDE resultante es

$$dS_t = (\mu - k) S_t dt + \sigma S_t dW_t + S_{t^-} dJ_t$$

donde se puede demostrar que $$k = \lambda (E(V_1) - 1)$$

y donde la solución en ese caso dice $$S_t = F(0,t) \mathcal{E}(\sigma W_t) e^{-kt} \prod_{j=1}^{N_t} V_j$$

Answer 2

Utilice Ito para los saltos $$dS_t = \frac{\partial S_t}{\partial t} dt + \frac{\partial S_t}{\partial W_t}dW_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 S_t}{\partial W_t^2} dt + \frac{\partial S_t}{\partial N_t}d N_t$$

La primera parte es bastante sencilla

$$\frac{\partial S_t}{\partial t} dt = S_t(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)$$ $$\frac{\partial S_t}{\partial W_t}dW_t = S_t \sigma dW_t$$ $$\frac{1}{2}\frac{\partial^2 S_t}{\partial W_t^2} dt = \frac{1}{2} S_t\sigma^2 dt.$$

Ahora tenemos que calcular la derivada según el proceso de salto $N_t$

Denote $M_k = \prod_{j=1}^{k} V_j$ y escribir

$$M_t = \prod_{j=1}^{N_t} V_j = \sum_{k=1}^\infty\{N_t = k \} \prod_{j=1}^{k} V_j = \sum_{k=1}^\infty\{N_t = k \} M_k.$$

Ahora bien, si $N_t$ es actualmente $k$ y salta durante el paso de tiempo $t$ a $t+dt$ de $k$ a $k+1$ el proceso $M_t = M_k$ cambios en $M_{t+dt} = M_{k+1}$ y el cambio es $$M_{k+1} - M_k = M_k(V_{k+1} - 1).$$

Por lo tanto, y dado que $N_t$ no influye en $\exp((\mu + \sigma^2)t + \sigma W_t)$

$$\frac{\partial S_t}{\partial N_t} = S_{t-}(V_t - 1)$$

Ahora bien, tenga en cuenta que $$(V_t - 1)dN_t = d\sum_{j=1}^{N_t} (V_j - 1)$$ y has terminado.