Según mi entendimiento de la derivación de la Black-Scholes de la PDE se basa en la suposición de que el precio de la opción que se debería cambiar en el tiempo de tal manera que debería ser posible construir una auto-financiación de la cartera, cuyo precio se replica el precio de la opción (dentro de un pequeño intervalo de tiempo). Y mi pregunta es: ¿por Qué hemos de suponer que el precio de la opción tiene esta propiedad?
Voy a explicar a mí mismo en más detalles. En primer lugar, suponemos que el precio de una opción call $C$ depende del precio de la acción subyacente $S$ y tiempo $t$. Luego, usamos el lema de Ito para obtener la siguiente expresión:
$d C = (\frac{\partial C}{\partial t} + S\mu\frac{\partial C}{\S parcial} + \frac{1}{2}S^2 \sigma^2 \frac{\partial^2C}{\partial S^2}) dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} dW$ (1) ,
donde $\mu$ y $\sigma$ son los parámetros que determinan el tiempo de evolución del precio de las acciones:
$dS = S(\mu dt + \sigma dW)$ (2)
Ahora construimos una auto-financiación de la cartera que consisten en $\omega_s$ acciones de la acción subyacente y $\omega_b$ acciones de una fianza. Desde la cartera es de autofinanciación, su precio de $P$ debe cambiar de esta manera:
$dP(t) = \omega_s dS(t) + \omega_b dB(t)$. (3)
Ahora necesitamos que $P=C$ y $dP = dC$. Esto significa que queremos encontrar $\omega_s$ y $\omega_b$ que la cartera tiene el mismo precio que la opción y el cambio en el precio tiene el mismo valor que el cambio en el precio de la opción. OK. ¿Por qué no? Si queremos tener un portafolio, podemos hacerlo. Los requisitos especiales para su precio y a cambio de su precio debe fijar su contenido (es decir, la exigencia debe fijar la porción de las acciones y de los bonos en la cartera ($\omega_s$ y $\omega_b$)).
Si sustituimos (2) en (3), y hacer uso del hecho de que $dB = rBdt$ obtendremos:
$\frac{\partial C}{\partial t} + S\mu\frac{\partial C}{\S parcial} + \frac{1}{2}S^2 \sigma^2 \frac{\partial^2C}{\partial S^2} = \omega_s S \mu + \omega_b r B$ (4)
y
$\sigma S \frac{\partial C}{\partial S} = \omega_s S \sigma$ (5)
A partir de la última ecuación podemos determinar $\omega_s$:
$\omega_s = \frac{\partial C}{\partial S}$ (6)
Así, sabemos que la parte de la bolsa de valores en el portafolio. Como también sabemos que el precio de la cartera (que es igual al precio de la opción), también podemos determinar la porción de los bonos en la cartera ($\omega_b$).
Ahora, si sustituimos la que se encuentra $\omega_s$ y $\omega_b$ en el (4) vamos a obtener una expresión que se une $\frac{\partial C}{\partial t}$, $\frac{\partial C}{\partial S}$ y $\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$:
$\frac{\partial C}{\partial t} + rS \frac{\partial C}{\S parcial} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = rC$
Esto no es nada, pero el Black-Scholes de la PDE.
Lo que no entiendo es ¿qué requisito se une el de los derivados de la $C$ más de $S$ y $t$.
En otras palabras, se aplican ciertos requisitos (restricciones) a nuestra cartera (debe seguir el precio de la opción). Como consecuencia, podemos restringir el contenido de nuestra cartera (reparamos $\omega_s$ y $\omega_b$). Pero no se aplican los requisitos para el precio de la opción. Así, podemos decir que eso debe ser una función de la $S$ y $t$. Como consecuencia, llegamos a la ecuación (1). Pero de eso no vamos a obtener ningún tipo de relación entre los derivados de $C$. Nosotros, también construyó una réplica de la cartera, pero por qué de su existencia debe restringir la evolución del precio de la opción?
Me parece que el requisito de que me falta es la siguiente:
El precio de la opción debe depender de $S$ y $t$ de tal manera que debería ser posible crear una auto-financiación de la cartera que replica el precio de la opción.
Estoy en lo cierto? Tenemos este requisito? Y obtenemos el Black-Scholes de la PDE de este requisito? Si es el caso, ¿puede alguien, por favor, explique de donde este requisito viene.
