¿Por qué es útil el movimiento browniano en finanzas?

Question

La siguiente es una pregunta de entrevista de Mark Joshi et al. Quant Job Interview.

Pregunta: ¿Por qué es útil el movimiento browniano en finanzas?

Vengo de un fondo de doctorado en Matemáticas Puras (análisis funcional, en particular teoría de espacios de Banach). Me gustaría aventurarme en la industria de finanzas cuantitativas después de graduarme de mi doctorado.

Por lo tanto, no tengo ni idea de cómo responder a la pregunta anterior, ya que parece que la mayoría de los libros de cálculo estocástico hablarían sobre el movimiento browniano pero nunca darían motivaciones.

Answer 1

El movimiento Browniano es simplemente el límite de una marcha aleatoria escalada (discreta en el tiempo) y, por lo tanto, un candidato natural para usar. Es muy intuitivo y probablemente uno de los procesos estocásticos de tiempo continuo más simples y mejor entendidos. Además, no olvides que se obtienen muchos más procesos estocásticos como funciones de un movimiento Browniano (cambiado en el tiempo). En muchos libros de cálculo estocástico, primero se define la integral de Ito con respecto a un movimiento Browniano antes de extenderlo a semimartingalas generales. Suponiendo que los log-retornos siguen un movimiento Browniano (con deriva), puedes derivar fácilmente soluciones en forma cerrada para los precios de opciones. Además, el movimiento Browniano es Markoviano y una martingala que representan propiedades clave en finanzas.

El movimiento Browniano fue introducido por primera vez por Bachelier en 1900. Samuelson luego utilizó la exponencial de un movimiento Browniano (movimiento Browniano geométrico) para evitar la negatividad en un modelo de precio de acciones. Basándose en este trabajo, Black y Scholes encontraron su famosa fórmula en 1973.

Answer 2

Los objetos físicos se mueven de acuerdo con curvas suaves simples que pueden ser representadas por polinomios de bajo orden: una línea recta, una parábola, una elipse, etc.

Los precios en los mercados financieros se mueven de una manera completamente diferente, como se puede ver al mirar cualquier gráfico de precios de acciones, tasas de interés, etc. en un periódico: hay fluctuaciones constantes e erráticas, a veces en una dirección, a veces en la otra, a veces pequeñas y a veces grandes, que dan a la curva un aspecto áspero y aleatorio. El Movimiento Browniano es un modelo adecuado para este tipo de curva.